Exemple 3

Étiquette 0E5Y, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E5Y].

Sur la droite numérique $\mathbf{R}$ , l’application

f \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)\, dx}{1 + x^2}

est une mesure bornée, car pour toute fonction

f \in \mathscr{H}(\mathbf{R}; \mathbf{C})

, on a

\left| \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(x)\, dx}{1 + x^2} \right| \leqslant \|f\| \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi \cdot \|f\|.

Comme les relations $\|f\| \leqslant 1$ et $\|\bar{f}\| \leqslant 1$ sont équivalentes, il résulte de (20) que pour toute mesure $\mu$ sur $X$ , on a

\|\bar{\mu}\| = \|\mu\|.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

Cité par

Rien.

Rien.