Exemple 3

Sur l’intervalle $X = \{0, 1\}$ de $\mathbf{R}$, considérons un ensemble dénombrable partout dense, rangé en une suite $(a_n)$, et soit $\mu$ la mesure définie par la masse $2^{-n}$ placée au point $a_n$ pour tout $n \geq 0$ (§ 1, n° 3, Exemple 1). Le support de $\mu$ est $X$ tout entier ; en effet, soient $x$ un point quelconque de $X$, $V$ un voisinage de $x$, $f$ une fonction numérique continue et $> 0$ dans $X$, égale à 1 au point $x$, et dont le support est contenu dans $V$ (§ 1, n° 2, lemme 1) ; l’ensemble des $y \in V$ tels que $f(y) > 0$ est ouvert dans $X$, donc contient un point $a_n$, et par suite $\mu(f) \geq f(a_n)2^{-n} > 0$.