Exemple 2

Prenons pour E l’espace $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ des mesures sur X, muni de la topologie vague ($§ 1$, n° 9); le dual $E'$ de E s’identifie alors canoniquement à l’espace $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (Esp. vect. top., chap. I, 2e éd., $§ 6$, n° 2, prop. 3). L’application $x \mapsto \varepsilon_x$ de X dans E est continue ($§ 1$, n° 9, prop. 13), mais son support n’est pas compact si X n’est pas compact; toutefois elle est scalairement à support compact, car pour toute fonction $f \in E'$, la fonction $x \mapsto \langle \varepsilon_x, f \rangle = f(x)$ a par définition un support compact. En outre, on a

pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C}) = E'$, ce qui prouve que pour toute mesure $\mu$ sur X.