Lemme 1

Soient X, Y deux espaces localement compacts, K (resp. L) une partie compacte de X (resp. Y). (i) La restriction à $\mathscr{H}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ de la bijection canonique $\omega : \mathscr{F}(X \times Y; \mathbf{C}) \to \mathscr{F}(X; \mathscr{F}(Y; \mathbf{C}))$ (Ens. R, § 4, n° 14)* est une isométrie de l’espace de Banach $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ sur l’espace de Banach $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$.

(ii) L’espace vectoriel $\mathscr{K}(X, K ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$, identifié canoniquement à un sous-espace de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$, (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, no 7, commentaires suivant le cor. de la prop. 15) est dense dans cet espace de Banach.

Il est immédiat que l’image par $\omega$ de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$ est contenue dans $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$. Inversement, si $u$ est une application continue de $X$ dans $\mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$, de support contenu dans $K$, l’application $(x, y) \mapsto u(x)(y)$ de $X \times Y$ dans $\mathbf{C}$ est continue et a son support contenu dans $K \times L$, donc la restriction de $\omega$ à $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$ est une bijection de cet espace sur $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$; le fait que cette restriction est une isométrie d’espaces de Banach résulte de la relation

Ceci prouve (i); d’autre part, l’image par $\omega$ de identifié à un sous-espace de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$, est l’espace $\mathscr{K}(X, K ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$ identifié canoniquement cette fois à un espace d’applications de $X$ dans $\mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, no 7, cor. de la prop. 15); mais on sait que ce sous-espace de $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$ est dense dans ce dernier (§ 1, no 2, prop. 5), donc la conclusion de (ii) résulte de ce que la restriction de $\omega$ est un isomorphisme topologique.

Ce lemme étant démontré, notons maintenant que toute partie compacte de $X \times Y$ est contenue dans un produit $K \times L$, où $K$ (resp. $L$) est une partie compacte de $X$ (resp. $Y$). Il résulte donc du lemme 1, (ii) que le sous-espace $\mathscr{K}(X ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y ; \mathbf{C})$ est dense dans $\mathscr{K}(X \times Y ; \mathbf{C})$; comme la relation (1) s’écrit aussi $\nu(g \otimes h) = \lambda(g)\mu(h)$ pour $g \in \mathscr{K}(X ; \mathbf{C}), h \in \mathscr{K}(Y ; \mathbf{C})$, on en déduit aussitôt l’unicité de $\nu$. Pour prouver l’existence de $\nu$, nous utiliserons le lemme suivant: