Lemme 1

Toute fonction $f \in \mathscr{I}_+$ est l’enveloppe supérieure de l’ensemble (filtrant pour la relation $\leqslant$) des fonctions $g \in \mathscr{K}_+$ telles que $g \leqslant f$.

En effet, pour tout $x \in X$ tel que $f(x) > 0$, et pour tout nombre réel fini $a$ tel que $0 < a < f(x)$, il existe par hypothèse un voisinage compact V de x tel que $f(y) \geq a$ dans V; d’autre part, il existe une fonction $g \in \mathscr{K}_+$, de support contenu dans V, égale à $a$ au point $x$ et $\leq a$ dans V (Top. gén., chap. IX, § 1, n° 5, th. 2); on a donc $0 \leq g \leq f$ et $g(x) \geq a$, ce qui démontre le lemme.