Lemme 1

Soit $\Phi$ un ensemble non vide de parties de A satisfaisant à l’axiome (CL). Etant donnée une famille finie $(M_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’ensembles de $\Phi$, il existe une famille finie $(N_j)_{1 \leq j \leq m}$ d’ensembles de $\Phi$, deux à deux sans point commun, telle que chacun des $M_i$ soit réunion d’un certain nombre des $N_j$.

En effet, considérons les $2^n - 1$ ensembles de la forme $\bigcap_{i=1}^n P_i$, où $P_i = M_i$ pour certains indices $i$, $P_i = \bigcup M_i$ pour les autres, un au moins des $P_i$ étant égal à $M_i$. Soit $(N_j)_{1 \leq j \leq m}$ la suite de ces ensembles rangés dans un certain ordre ; ils sont deux à deux sans point commun, et appartiennent à $\Phi$; d’autre part, tout ensemble $M_k$ est réunion des ensembles $N_j = \bigcap_{i=1}^n P_i$ correspondant aux familles $(P_i)$ telles que $P_k = M_k$, ce qui démontre le lemme.

Ce lemme étant établi, toute fonction de la forme $\sum_{i=1}^n c_i \varphi_{M_i}$, où $M_i \in \Phi$, peut s’écrire sous la forme $\sum_{j=1}^m d_j \varphi_{N_j}$, où les $N_j$ appartiennent à $\Phi$ et sont deux à deux sans point commun; si $\varphi_M = \sum_{j=1}^m d_j \varphi_{N_j}$, on a nécessairement $d_j = 0$ ou $d_j = 1$ pour chaque indice $j$, donc $M$ est réunion d’un certain nombre des $N_j$, et par suite appartient à $\Phi$.

Tout clan $\Phi$ de parties de $A$ contient la partie vide $\emptyset$ de $A$; en effet, il existe au moins une partie $M \in \Phi$, donc $M - M = \emptyset$ appartient à $\Phi$. On notera d’ailleurs que l’ensemble de parties de $A$ réduit à la seule partie $\emptyset$ est un clan.