Remarque 2

Soient $\mu$ une mesure positive sur $X$, $f$ une fonction mesurable $\geq 0$ (finie ou non), dont le support est contenu dans une réunion dénombrable d’ensembles compacts $K_n$. On a alors, pour tout $p$ tel que $1 \leq p \leq +\infty$,

lorsque $g$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ telles que

N_q(g) \leq 1. En effet, la formule (11) est un cas particulier de (9) lorsque N_p(f) < +\infty, puisque alors f est équivalente à une fonction de $\mathscr{L}^p$ (§ 5, n° 6, th. 5). Si N_p(f) = +\infty, posons, pour tout entier n > 0, $f_n = \inf(n, f \varphi_{K_n})$. On a

d’où, en passant à la limite (§ 1, n° 3, th. 3), $\sup \int^* |f g| d\mu = +\infty$.