Remarque 3

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $\mu$-modérées à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$. Pour chaque $n$, soit $U_n$ un ouvert, réunion dénombrable d’ouverts de mesure extérieure finie, tel que $f_n$ soit nulle hors de $U_n$. La fonction $s = \sum_{n \in \mathbf{N}} |f_n|$ est alors nulle hors de $\bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$; elle est donc $\mu$-modérée, et il en est de même de toutes les fonctions majorées par $s$. Cela s’applique en particulier aux fonctions $\liminf_{n \to \infty} f_n$, $\limsup_{n \to \infty} f_n$ et $\sum_{n \in \mathbf{N}} f_n$ (si cette somme est définie).