Lemme 1

Soient g et $g'$ deux applications $\mu$-modérées à valeurs dans F; si g et $g'$ sont égales localement presque partout à une même fonction f, on a $g = g'$ presque partout.

En effet, soit D l’ensemble des $t \in T$ tels que $g(t) \neq g'(t)$; D est localement négligeable et modéré, donc négligeable (cor. 1 de la prop. 7).

Nous désignerons par $\bar{\mathscr{F}}_F^p(T, \mu)$ (ou simplement $\bar{\mathscr{F}}_F^p(\mu)$, $\bar{\mathscr{F}}_F^p$, si aucune confusion n’en résulte) l’ensemble des applications f de T dans F, telles qu’il existe une fonction $g \in \mathscr{F}_F^p$ égale à f localement presque partout. Le nombre $N_p(g)$ ne dépendant que de f d’après le lemme 1, nous poserons $\overline{N}_p(f) = N_p(g)$. La fonction $\overline{N}_p$ est évidemment une semi-norme sur $\bar{\mathscr{F}}_F^p$, et nous supposerons toujours que $\bar{\mathscr{F}}_F^p$ est muni de la topologie définie par $\overline{N}_p$. L’adhérence de 0 pour cette topologie est l’espace $\mathscr{N}_F^\infty$; les relations $\bar{\mathscr{F}}_F^p = \mathscr{F}_F^p + \mathscr{N}_F^\infty$, $\mathscr{N}_F^\infty \cap \mathscr{F}_F^p = \mathscr{N}_F$ (lemme 1), montrent que l’espace normé $\bar{\mathscr{F}}_F^p / \mathscr{N}_F^\infty$ s’identifie canoniquement à $\mathscr{F}_F^p / \mathscr{N}_F$, qui est complet (chap. IV, § 3, n° 3, prop. 5); $\bar{\mathscr{F}}_F^p$ est donc lui-même complet.

Nous désignerons de même par $\bar{\mathscr{L}}_F^p(T, \mu)$ (ou $\bar{\mathscr{L}}_F^p(\mu)$, ou $\bar{\mathscr{L}}_F^p$) le sous-espace $\mathscr{L}_F^p + \mathscr{N}_F^\infty$ de $\bar{\mathscr{F}}_F^p$: on peut aussi caractériser $\bar{\mathscr{L}}_F^p$ comme le sous-espace de $\bar{\mathscr{F}}_F^p$ constitué par les applications mesurables (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5). L’espace normé $\bar{\mathscr{L}}_F^p / \mathscr{N}_F^\infty$ s’identifie canoniquement à $L_F^p$; $\bar{\mathscr{L}}_F^p$ est donc complet. Ses éléments sont appelés fonctions de puissance p-ième essentiellement intégrable, cette terminologie étant justifiée par la proposition suivante: