Lemme 1

Soit X un espace localement compact ayant une base dénombrable. Il existe alors dans $\mathscr{K}(X)$ une partie dénombrable S possédant la propriété suivante: pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X)$, il existe une suite $(f_n)$ d’éléments de S, une fonction positive $\varphi \in S$, telles que, quel que soit le nombre $\varepsilon > 0$, l’on ait $|f_n - f| \leq \varepsilon \varphi$ dès que n est suffisamment grand.

Soit $X'$ le compactifié d’Alexandroff de X, qui est un compact métrisable (Top. gén., chap. IX, n° 9, prop. 16 et cor.); nous identifierons $\mathscr{K}(X)$ à une partie de $\mathscr{C}(X')$. Soit $S'$ une partie dénombrable dense de l’espace de Banach $\mathscr{C}(X')$ (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, th. 1); on peut supposer que $S'$ contient la fonction constante $n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Soit $(U_n)$ une suite d’ouverts relativement compacts de X, de réunion X; tels que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ pour tout $n$ (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 9, prop. 15), et soit $\varphi_n$ une fonction de $\mathscr{K}_+(X)$ égale à 1 sur $\overline{U}_n$. Nous désignerons par S l’ensemble dénombrable des éléments de $\mathscr{K}(X)$ de la forme $\varphi_n g$ ($n \in \mathbf{N}$, $g \in S'$). Si $f \in \mathscr{K}(X)$, soit $(g_n)$ une suite d’éléments de S’ qui converge uniformément vers $f$, et soit $k$ un entier tel que le support de $f$ soit contenu dans $U_k$. Soit enfin $m$ un entier qui majore les normes des fonctions $g_n$. Les fonctions $f_n = \varphi_k g_n$ appartiennent à S, et satisfont à l’énoncé, avec $\varphi = m \varphi_k$.

Ce lemme étant établi, et l’application $t \mapsto \lambda_t(g)$ étant scalairement essentiellement intégrable pour tout $g \in S$, l’application $t \mapsto (\lambda_t(g))_{g \in S}$ de T dans $\mathbf{R}^S$ est $\mu$-mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1). L’ensemble $\mathfrak{R}$ des compacts K de T tels que la restriction de cette application à K soit continue est donc $\mu$-dense, et il nous suffira de montrer que la restriction de $\Lambda$ à tout $K \in \mathfrak{R}$ est continue. Or soient $f$ un élément quelconque de $\mathscr{K}(X)$, $f_n$ et $\varphi$ des éléments de S satisfaisant à l’énoncé du lemme 1; la fonction $t \mapsto \lambda_t(f)$ est alors limite uniforme dans K des fonctions continues $t \mapsto \lambda_t(f_n)$; elle est donc continue dans K, et la proposition est démontrée.