Corollaire 2

Soit $v$ une mesure réelle sur T. Pour que $v$ appartienne à la bande engendrée par $\mu$ dans l’espace complètement réticulé $\mathscr{M}(T)$ (chap. II, § 1, n° 5), il faut et il suffit que $v$ soit une mesure de base $\mu$.

On se ramène aussitôt, en considérant $v^+$ et $v^-$, au cas d’une mesure $v$ positive (n° 2, cor. de la prop. 2). Posons alors $v_n = \inf(n\mu, v)$; $v$ appartient à la bande engendrée par $\mu$ si et seulement si $v = \sup_n v_n$ (chap. II, 2e éd., § 1, n° 5, cor. de la prop. 6). Or $v_n$, majorée par $n\mu$, est une mesure de base $\mu$ d’après le th. 2; la relation $v = \sup_n v_n$ entraîne donc que $v$ est une mesure de base $\mu$ (cor. 1). Inversement, supposons que $v$ soit une mesure de base $\mu : v = g \cdot \mu$, où $g$ est localement $\mu$-intégrable et positive. On a alors $v_n = \inf(g, n) \cdot \mu$ (cor. de la prop. 2), et il résulte aussitôt du théorème de Lebesgue (chap. IV, § 4, n° 3, prop. 4) que $v = \sup_n v_n$.