Corollaire 3

Soit $\theta$ une mesure complexe; il existe une fonction universellement mesurable $v$, telle que $|v| = 1$, et qu’on ait $\theta = v \cdot |\theta|, \ |\theta| = \bar{v} \cdot \theta$.

Posons en effet $\theta = \theta_1 - \theta_2 + i(\theta_3 - \theta_4)$, où $\theta_1 = (\Re \theta)^+$, $\theta_2 = (\Re \theta)^-$, $\theta_3 = (\Im \theta)^+$, $\theta_4 = (\Im \theta^-)$; les mesures positives $\theta_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$), étant majorées par $|\theta|$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, formule (17)), sont des mesures de base $|\theta|$ d’après le théorème 2. Il en résulte qu’il existe une fonction localement $|\theta|$-intégrable $v$ telle que $\theta = v . |\theta|$. La proposition 2 donne alors la relation $|\theta| = |v| . |\theta|$, ce qui entraîne que $|v| = 1$ localement $|\theta|$-presque partout (cor. 2 de la prop. 3). On a enfin, d’après la prop. 8, $\bar{v} . \theta = (v \bar{v}) . |\theta| = |\theta|$. La fonction $v$ n’étant définie qu’à une fonction localement $|\theta|$-négligeable près, on peut supposer que $v$ est universellement mesurable (§ 3, n° 4, prop. 7) et que $|v| = 1$ partout.