Corollaire 4

Soient $\rho$ et $\theta$ deux mesures complexes. Pour qu’il existe une fonction $u$, localement $\theta$-intégrable, telle que $\rho = u . \theta$, il faut et il suffit que tout compact $\theta$-négligeable soit $\rho$-négligeable.

Cette condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons que tout compact $\theta$-négligeable soit $\rho$-négligeable ; le théorème 2 entraîne l’existence d’une fonction localement $|\theta|$-intégrable $g$ telle que $|\rho| = g . |\theta|$. Le cor. 3 entraîne d’autre part l’existence d’une fonction $v_1$ (resp. $v_2$), de valeur absolue 1, mesurable pour la mesure $|\rho|$ (resp. $\theta$), telle que $\rho = v_1 . |\rho|$ (resp. $|\theta| = \bar{v}_2 . \theta$). D’après la prop. 8, on a alors $\rho = u . \theta$, où $u = v_1 g \bar{v}_2$.