Corollaire 5

Soient $\mu$ et $v$ deux mesures positives sur T. Les conditions 1), 2), 3) du th. 2 sont encore équivalentes aux suivantes:

4) Pour toute fonction numérique $f \geq 0$ $v$-intégrable et pour tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que les relations $0 \leq h \leq f$ et $\int^* h \, d\mu \leq \delta$ entraînent $\int^* h \, dv < \varepsilon$.

5) Pour toute fonction $g \in \mathscr{K}_+(\mathrm{T})$ et tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que, pour toute $h \in \mathscr{K}_+(\mathrm{T})$ majorée par $g$ et vérifiant $\int h \, d\mu \leq \delta$, on ait $\int h \, dv \leq \varepsilon$.

6) Pour tout ensemble compact $K \subset \mathrm{T}$ et tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que les relations $A \subset K$ et $\mu^*(A) \leq \delta$ entraînent $v^*(A) \leq \varepsilon$.

Les implications 4) ⇒ 6) ⇒ 3) sont évidentes.

Supposons qu’il existe une fonction finie $k \geq 0$, universellement mesurable, localement $\mu$-intégrable, telle que $\nu = k . \mu$, et montrons que la condition 4) est remplie. Soient $f$ une fonction $\geq 0$, $\nu$-intégrable, et $\varepsilon > 0$. Pour tout entier $n \geq 0$, soit $A_n$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $k(t) \geq n$. Les fonctions $f \varphi_{A_n}$ tendent simplement vers 0 en décroissant et sont majorées par $f$, donc il existe $N$ tel que $\int f \varphi_{A_N} d\nu \leq \varepsilon / 2$ (chap. IV, § 4, n° 3, prop. 4). Si $h$ est une fonction sur $T$ vérifiant $0 \leq h \leq f$ et $\int^* h \, d\mu \leq \varepsilon / 2N$, on a

On a ainsi prouvé que les conditions 4) et 6) sont équivalentes aux conditions du th. 2.

Il est clair que 4) entraîne 5). Enfin, si la condition 5) est remplie, $\nu$ appartient à la bande engendrée par $\mu$ (chap. II, § 2, n° 2, prop. 4), donc est de base $\mu$ (cor. 2).