Remarque 2

Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures complexes, et soit $\nu = \mu \otimes \mu'$. Si $f$ est $\nu$-intégrable (autrement dit, $|\nu|$-intégrable), le théorème appliqué aux mesures $|\mu|$ et $|\mu'|$, dont le produit est $|\nu|$ (chap. III, 2e éd., § 4, n° 2, prop. 3), entraîne que $t' \mapsto f(t, t')$ est $\mu'$-intégrable pour $\mu$-presque tout $t$. On en déduit, en décomposant les mesures $\mu$ et $\mu'$ en combinaison linéaire de mesures positives, que l’énoncé de a) s’étend aux mesures complexes. On peut raisonner de même pour b).