Remarque 2

On notera que dans la démonstration de la continuité de $\lambda \to \int \mathbf{f} d\lambda$, on n’a pas utilisé le fait que $F$ est quasi-complet. La conclusion de la prop. 14 est donc encore valable sans cette hypothèse, lorsqu’on sait par ailleurs que $\int \mathbf{f} d\mu \in F$ pour toute mesure positive $\mu$ à support compact.

Supposons maintenant que $\mathbf{f}(T)$ soit une partie bornée de $F$. Alors, pour toute mesure positive bornée $\mu$ sur $T$, $\mathbf{f}$ est scalairement $\mu$-intégrable et on a $\int \mathbf{f} d\mu \in F$ (no 2, prop. 8). Si $\lambda$ est une mesure réelle bornée quelconque sur $T$, $\lambda^+$ et $\lambda^-$ sont bornées, et on voit aussitôt que $\lambda \to \int \mathbf{f} d\lambda$ définie comme ci-dessus est une application linéaire de l’espace $\mathscr{M}^1(T)$ des mesures bornées sur T, dans l’espace localement convexe F, qui prolonge évidemment l’application $\lambda \to \int f d\lambda$ de $C'(T)$ dans F.