Exemple 2

Soient H un espace hilbertien complexe, $\mathscr{L}(H)$ l’algèbre normée des endomorphismes continus de H. Soit A une sous-algèbre de $\mathscr{L}(H)$, commutative, fermée, autoadjointe et contenant l’identité ; on démontre qu’il existe un espace compact X et un isomorphisme de l’algèbre normée A sur l’algèbre $\mathscr{K}_c(X)$ des fonctions complexes continues dans X, munie de la norme $\|f\| = \sup_{x \in X} |f(x)|$. L’isomorphisme réciproque, restreint à $\mathscr{K}(X)$, est une mesure $m$ sur X, à valeurs dans $\mathscr{L}(H)$, telle que $m(fg) = m(f)m(g)$.