Définition 5

On appelle mesure complexe sur $T$ toute forme linéaire continue sur l'espace vectoriel complexe $\mathscr{K}_c(T)$.

L'espace $\mathscr{M}_c(T)$ des mesures complexes sur $T$ est donc le dual de l'espace localement convexe séparé $\mathscr{J}_c(T)$.

Si $m$ est une mesure complexe sur $T$, sa restriction à $\mathscr{H}(T)$ est une mesure vectorielle sur $T$ à valeurs dans $\mathbf{C}$ (considéré comme espace vectoriel sur $\mathbf{R}$) ; $m$ est déterminée par cette restriction, puisque si $f = f_1 + i f_2 \in \mathscr{H}_\mathbf{C}(T)$, la partie réelle $f_1$ et la partie imaginaire $f_2$ de $f$ sont dans $\mathscr{H}(T)$, et $m(f) = m(f_1) + i m(f_2)$. Inversement, pour toute mesure vectorielle $m_0$ sur $T$ à valeurs dans $\mathbf{C}$, la formule $m(f) = m_0(f_1) + i m_0(f_2)$ définit une mesure complexe $m$ et une seule dont la restriction à $\mathscr{H}(T)$ soit $m_0$. Nous identifierons donc désormais une mesure complexe à sa restriction à $\mathscr{H}(T)$ ; une telle mesure $m$ est de la forme $m = \mu_1 + i \mu_2$, où $\mu_1$ et $\mu_2$ sont deux mesures réelles sur $T$, qui sont appelées respectivement partie réelle et partie imaginaire de $m$. Le support de $m$ est l’adhérence de la réunion des supports de $\mu_1$ et $\mu_2$. On sait que $m$ est majorable (no 3, cor. de la prop. 4) ; nous appellerons valeur absolue de $m$ la mesure positive $|m|$ correspondant à la valeur absolue $|x_1 + i x_2| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ sur $\mathbf{C}$. On a $|m| = (\mu_1^2 + \mu_2^2)^{1/2}$ (no 4, Remarque suivant la prop. 9), et $|\mu_1| \leq |m|,\ |\mu_2| \leq |m|,\ |m| \leq |\mu_1| + |\mu_2|$; en outre, $m$ est une mesure de base $|m|$, et on peut écrire $m = h.|m|$, où $h \in \mathscr{L}_\mathbf{C}^\infty(|m|)$ et $|h(t)| = 1$ localement presque partout pour $|m|$ (no 4, prop. 9). Les supports de $m$ et de $|m|$ sont les mêmes.

Pour toute application $\mathbf{f}$ de $T$ dans un espace de Banach complexe $F$, essentiellement intégrable par rapport à $|m|$, on peut définir (no 7) l’intégrale de $\mathbf{f}$ par rapport à $m$ (correspondant à l’application $\mathbf{R}$-bilinéaire $(\mathbf{x}, \lambda) \to \lambda \mathbf{x}$ de $F \times \mathbf{C}$ dans $F$), qu’on notera $\int \mathbf{f} dm$; il résulte aussitôt de la propriété d’unicité de la prop. 11 que l’on a (avec les notations précédentes)

Pour $f \in \mathscr{H}_\mathbf{C}(T)$, on a donc $m(f) = \int f dm$. On dit que $\mathbf{f}$ est essentiellement intégrable pour $m$ si elle l’est pour $|m|$; on définit de même les applications $m$-intégrables, $m$-mesurables, localement $m$-intégrables, $m$-négligeables, localement $m$-négligeables. On écrit $\mathscr{L}_F^p(T, m)$ (resp. $\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, m), L_F^p(T, m)$) au lieu de $\mathscr{L}_F^p(T, |m|)$ (resp. $\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, |m|), L_F^p(T, |m|)$); ce sont des espaces vectoriels complexes.

Pour que $\mathbf{f}$ soit $m$-intégrable (resp. essentiellement $m$-intégrable), il faut et il suffit que $\mathbf{f}$ soit intégrable (resp. essentiellement intégrable) par rapport à chacune des quatre mesures $\mu_1^+, \mu_1^-, \mu_2^+, \mu_2^-$, en vertu des inégalités entre $|m|, |\mu_1|, |\mu_2|$ et des relations $|\mu_k| = \mu_k^+ + \mu_k^- (k = 1, 2)$ (chap. V, § 3, no 5, cor. 1 de la prop. 6).

Si $\mathbf{f}$ est essentiellement $m$-intégrable (resp. $m$-intégrable), $|\mathbf{f}|$ est essentiellement $|m|$-intégrable (resp. $|m|$-intégrable), et il résulte de la prop. 11 que

Soient F et G deux espaces de Banach complexes, $u$ une application linéaire continue de F dans G. Si $\mathbf{f}$ est une application essentiellement $m$-intégrable (resp. $m$-intégrable) de T dans F, $u \circ \mathbf{f}$ est essentiellement $m$-intégrable (resp. $m$-intégrable) et on a

cela résulte aussitôt de ce qui précède et de la proposition analogue pour les fonctions essentiellement $|m|$-intégrables (chap. IV, § 4, no 2, th. 1 et chap. V, § 2, no 2, prop. 5).

Soient $m$ une mesure complexe sur T et $h$ une fonction complexe localement $m$-intégrable. Pour toute fonction $f \in \mathscr{H}_c(T)$, la fonction $fh$ est $m$-intégrable et l’application $f \to \int fh dm$ est une mesure complexe notée $h.m$ et appelée mesure de densité $h$ par rapport à $m$. Si $m = g.|m|$, il est clair que $h.m = hg.|m|$; comme en outre $|g(t)| = 1$ localement presque partout pour $|m|$, pour que $\mathbf{f}$ soit essentiellement intégrable pour $n = h.m$, il faut et il suffit que $\mathbf{f}h$ soit essentiellement $m$-intégrable, et on a

De plus, on a $|h.m| = |h|.|m|$. On dit encore que toute mesure de la forme $h.m$ est une mesure complexe de base $m$; deux mesures complexes $m, m'$ sont dites équivalentes si chacune a une densité par rapport à l’autre, ou, ce qui revient au même, si $m' = h.m$, où $h$ est localement $m$-intégrable et $h(t) \neq 0$ localement presque partout pour $|m|$. Il est clair que $m$ et $|m|$ sont équivalentes, et que, pour que $m$ et $m'$ soient équivalentes, il faut et il suffit que $|m|$ et $|m'|$ le soient.

Si $m$ et $m'$ sont deux mesures complexes sur $T$, $f$ une fonction à valeurs dans un espace de Banach complexe $F$, essentiellement intégrable (resp. intégrable) à la fois pour $m$ et $m'$, alors, quels que soient les nombres complexes $\lambda$ et $\lambda'$, $f$ est essentiellement intégrable (resp. intégrable) pour $\lambda m + \lambda' m'$, et on a

Cela résulte en effet du cor. de la prop. 11 du no 7.

Il résulte en outre des définitions que l’on a

On appelle mesure conjuguée d’une mesure complexe $m$ la mesure complexe $m$ définie par $\overline{m}(f) = \overline{m(f)}$ pour $f \in \mathscr{K}_c(T)$. Si $m = \mu_1 + i \mu_2$, où $\mu_1$ et $\mu_2$ sont des mesures réelles, on a $\overline{m} = \mu_1 - i \mu_2$ et $|\overline{m}| = |m|$; si $m = h \cdot |m|$, on a $\overline{m} = \overline{h} \cdot |m|$. Si $f$ est une fonction essentiellement $m$-intégrable (resp. $m$-intégrable) à valeurs complexes, $\overline{f}$ est essentiellement $\overline{m}$-intégrable (resp. $\overline{m}$-intégrable) et on a