Lemme 1

Soient F un espace de Fréchet, F' son dual fort, F'' son bidual. Si toute partie de F'', bornée pour $\sigma(F'', F')$, est contenue dans l’adhérence (pour $\sigma(F'', F')$) d’une partie bornée de F, alors F' est limite inductive d’une suite d’espaces de Banach.

Soit en effet $(V_n)$ une suite fondamentale décroissante de voisinages convexes, équilibrés et fermés de 0 dans F. Pour tout entier $n$, soit $G_n$ le sous-espace de $F'$ engendré par le polaire $V_n^0$ de $V_n$. Dans $G_n$, $V_n^0$ est un ensemble convexe absorbant, donc sa jauge $p_n$ est une norme sur $G_n$; en outre $V_n^0$ est une partie complète du dual fort $F'$ (Esp. vect. top., chap. III, § 3, no 7, th. 4); donc $G_n$, muni de la norme $p_n$, est un espace de Banach (Esp. vect. top., chap. I, § 1, no 5, cor. de la prop. 8). Nous allons montrer que la topologie forte sur $F'$ est limite inductive de ces topologies d’espace de Banach sur les $G_n$, ou encore que, pour qu’une partie convexe, équilibrée et fortement fermée U de $F'$ soit un voisinage fort de 0, il faut et il suffit qu’elle absorbe chacun des $V_n^0$. Il est évident que cette condition est nécessaire; pour voir qu’elle est suffisante, il nous suffira de prouver que U contient un tonneau de $F'$. En effet, son polaire $U^0$ dans $F''$ sera alors borné pour $\sigma(F'', F')$, donc sera contenu par hypothèse dans l’adhérence (pour $\sigma(F'', F')$) d’une partie bornée B de F, et on en conclura que U (qui est fermé pour $\sigma(F', F'')$) contient le voisinage fort $B^0$ de 0 (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, no 3, prop. 3).

Par hypothèse, pour tout entier $n$, il existe un nombre $\lambda_n > 0$ tel que $\lambda_n V_n^0 \subset \frac{1}{2} U$; soit $A_n$ l’enveloppe convexe de la réunion des $\lambda_i V_i^0$ pour $i \leq n$. On a $A_n \subset \frac{1}{2} U$ pour tout $n$; soit W la réunion des

A_n : W est un ensemble convexe, équilibré, absorbant, contenu dans $\frac{1}{2} U$ et il nous suffit de montrer que son adhérence forte (qui est un tonneau) est contenue dans U.

Soit donc $x'$ un point de $F'$ n’appartenant pas à U. Comme chacun des $V_n^0$ est compact pour $\sigma(F', F)$, il en est de même de $A_n$ ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. II, § 4, no 1, prop. 1), et comme $x' \notin 2A_n$, il existe un élément $x_n$ appartenant au polaire de $A_n$ dans F et tel que $\langle x', x_n \rangle = 2$ ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. II, § 3, no 3, prop. 4). La suite $(x_n)$ est bornée dans F : en effet, tout $y' \in F'$ appartient à un des $V_k^0$, et on a par suite $|\langle y', x_n \rangle| \leq \lambda_k^{-1}$ pour $n \geq k$, d’où notre assertion ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. IV, § 2, no 4, th. 3). Soit C un ensemble borné convexe équilibré de F contenant tous les $x_n$; C$^0$ est alors un voisinage de 0 dans $F'$, et le polaire $C^{00}$ de $C^0$ dans $F''$ est compact pour $\sigma(F'', F')$ ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. IV, § 2, no 2, prop. 2). On voit donc que la suite $(x_n)$ admet une valeur d’adhérence $x''$ dans $F''$ pour $\sigma(F'', F')$; on a évidemment $\langle x', x'' \rangle = 2$ et d’autre part, $x''$ appartient au polaire de $A_n$ dans $F''$ pour tout $n$, donc au polaire $W^0$ de W dans $F''$. On en conclut que $x' \notin W^{00}$, donc n’est pas adhérent à W pour $\sigma(F', F'')$ ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. IV, § 1, no 3, prop. 3), ni a fortiori pour la topologie forte, ce qui achève la démonstration.