Remarque 3

Comme $|\gamma(s)\mu| = \gamma(s)(|\mu|)$, dire que $\mu$ est quasi-invariante revient à dire que $|\mu|$ est quasi-invariante.

Si $\mu$ est quasi-invariante et si $\mu'$ est une autre mesure sur $X$ équivalente à $\mu$, $\gamma(s)\mu'$ est équivalente à $\gamma(s)\mu$, donc à $\mu$, donc à $\mu'$, de sorte que $\mu'$ est quasi-invariante. Dire que $\mu$ est quasi-invariante par $G$ signifie donc que la classe de $\mu$ est invariante par $G$.

Pour que $\mu$ soit quasi-invariante, il faut et il suffit que l'ensemble des parties localement $\mu$-négligeables de $X$ soit invariant par $G$ (chap. V, § 5, n° 5, th. 2), ou encore que, pour toute partie compacte $\mu$-négligeable $K$ de $X$ et tout $s \in G$, $sK$ soit $\mu$-négligeable (loc. cit., Remarque).

Si $\mu$ est quasi-invariante, le support de $\mu$ est invariant par G. En particulier, si G est transitif dans X, ce support est ou bien vide (si $\mu = 0$) ou bien égal à X (si $\mu \neq 0$).