Exemple 3

Étiquette 0E71, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E71].

Integration, chapter VII, § 1. Construction d'une mesure de Haar

Prenons pour $G$ le tore $\mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ . Soit $\varphi$ l’application canonique de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{T}$ . Pour $f \in \mathscr{H}(\mathbf{T})$ , la fonction $f \circ \varphi$ est continue et périodique de période 1 sur $\mathbf{R}$ , et l’intégrale

I(f) = \int_a^{a+1} f(\varphi(x)) dx

est indépendante du choix de

a \in \mathbf{R}

; il est immédiat qu’elle est invariante par translation ; elle définit donc une mesure de Haar sur

\mathbf{T}

. Par transport de structure, on en déduit que

I(f) = \int_a^{a+1} f(e^{2\pi i t}) dt

est une mesure de Haar sur le groupe multiplicatif

\mathbf{U}

des nombres complexes de valeur absolue 1 (Top. gén., chap. VIII, § 2, no 1).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.