Exemple 2

Étiquette 0E72, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E72].

Integration, chapter VII, § 1. Construction d'une mesure de Haar

L’application $(r, u) \to ru$ est un isomorphisme de $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{U}$ sur $\mathbf{C}^*$ (Top. gén., chap. VIII, § 1, no 3). Si on identifie $\mathbf{C}^*$ à $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{U}$ par cet isomorphisme, et si on note $du$ une mesure de Haar de $\mathbf{U}$ , $r^{-1} dr du$ est une mesure de Haar de $\mathbf{C}^*$ d’après l’exemple 2 du no 2. D’autre part, la bijection $\theta \to e^{2i\pi\theta}$ de $[0, 1[$ sur $\mathbf{U}$ transforme la mesure de Lebesgue $d\theta$ de $[0, 1[$ en une mesure de Haar sur $\mathbf{U}$ d’après l’exemple 3 du no 2. Il en résulte que, si $f \in \mathscr{H}(\mathbf{C}^*)$ , l’intégrale

\int_0^{+\infty} \int_0^1 f(re^{2i\pi\theta}) r^{-1} dr d\theta

définit une mesure de Haar sur $\mathbf{C}^*$ .

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.