Lemme 2

a) Soient $f \in \mathscr{K}_+(G)$, S une partie compacte de $G$ contenant $\mathrm{Supp}\ f$, U un voisinage ouvert de $S$ dans $G$, et $\varepsilon > 0$. Il existe un $\alpha \in A$ et une fonction $g \in \mathscr{K}_+(G)$, nulle hors de $U$, constante sur les classes suivant $K_\alpha$, telle que $|f - g| \leq \varepsilon$.

b) Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures sur $G$ telles que $\varphi_\alpha(\mu) = \varphi_\alpha(\mu')$ pour tout $\alpha \in A$. Alors $\mu = \mu'$.

Il existe un $\alpha_1 \in A$ tel que $K_{\alpha_1} S \cap K_{\alpha_1}(G - U) = \varnothing$ (Top. Gén., chap. II, 3e éd., § 4, n° 3, prop. 4). En augmentant $S$ et en diminuant $U$, on peut donc supposer que $S$ et $U$ sont des réunions de classes suivant $K_{\alpha_1}$. Considérons les fonctions numériques continues $h$ sur $S$ qui possèdent la propriété suivante : il existe $\alpha \geq \alpha_1$ tel que $h$ soit constante sur les classes suivant $K_\alpha$. Ces fonctions forment une sous-algèbre de $\mathscr{K}(S)$ (parce que la famille $(K_\alpha)$ est filtrante décroissante) qui contient les constantes et qui sépare les points de $S$ : en effet, soient $x, y$ deux points distincts de $S$; comme l’intersection des $K_\alpha$ est $\{e\}$, il existe $\alpha \geq \alpha_1$ tel que $\varphi_\alpha(x) \neq \varphi_\alpha(y)$, puis une fonction numérique $u$ continue dans $\varphi_\alpha(S)$, telle que $u(\varphi_\alpha(x)) \neq u(\varphi_\alpha(y))$. D’après le th. de Weierstrass-Stone, il existe un $\alpha \geq \alpha_1$ et une fonction $h \geq 0$ continue dans $S$, constante sur les classes suivant $K_\alpha$, et telle que $|f - h| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ dans $S$. Pour tout $t \in \mathbf{R}$, posons $\delta(t) = \left( t - \frac{\varepsilon}{2} \right)^+$, et posons $h' = \delta \circ h$. Alors $h'$ est une fonction $\geq 0$, continue dans $S$, constante sur les classes suivant $K_\alpha$, et l’on a $|h - h'| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ dans $S$, donc $|f - h'| \leq \varepsilon$ dans $S$. D’autre part, on a $h'(x) = 0$ si $x$ appartient à la frontière de $S$ dans $G$, car alors $h(x) \leq \frac{\varepsilon}{2}$. Si on prolonge $h'$ par 0 dans le complémentaire de $S$, on obtient une fonction $g$ qui répond à la question, ce qui prouve a).

Soient maintenant $\mu, \mu'$ deux mesures sur $G$ telles que $\varphi_\alpha(\mu) = \varphi_\alpha(\mu')$ pour tout $\alpha \in A$. Soit $v \in \mathscr{K}(G)$ une fonction constante sur les classes suivant $K_\alpha$ pour un $\alpha \in A$, de sorte qu’on peut écrire $v = w \circ \varphi_\alpha$ avec $w \in \mathscr{K}(G_\alpha)$; on a alors $\mu(v) = (\varphi_\alpha(\mu))(w) = (\varphi_\alpha(\mu'))(w) = \mu'(v)$; on en conclut que $\mu = \mu'$ en vertu de a).