Exemple 2

Étiquette 0E75, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E75].

Integration, chapter VII, § 1. Construction d'une mesure de Haar

Prenons $K = \mathbf{R}$ , et pour $A$ le corps des quaternions $\mathbf{H}$ (Top. Gén., chap. VIII, 3e éd., § 1, n° 4). Considérons les éléments suivants de $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ :

X_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad X_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

qui, avec $I_2$ , forment une base de $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ sur $\mathbf{C}$ . On vérifie aisément que

X_1^2 = X_2^2 = X_3^2 = -I_2, \quad X_1 X_2 = -X_2 X_1 = X_3,

X_2 X_3 = -X_3 X_2 = X_1, \quad X_3 X_1 = -X_1 X_3 = X_2.

Donc l'application $a + b i + c j + d k \to a I_2 + b X_1 + c X_2 + d X_3$ se prolonge en un $\mathbf{C}$ -isomorphisme de l'algèbre $\mathbf{C} \otimes_\mathbf{R} \mathbf{H}$ sur l'algèbre $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ . Comme $[\mathbf{H} : \mathbf{R}] = 4$ , $\mathbf{C}$ est un corps neutralisant de $\mathbf{H}$ , et la norme réduite de $q = a + b i + c j + d k \in \mathbf{H}$ est

\mathrm{Nrd}(q) = \det(a I_2 + b X_1 + c X_2 + d X_3)

= \det \begin{pmatrix} a + id & -c + ib \\ c + ib & a - id \end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \|q\|^2.

D'après Alg., chap. VIII, § 12, n° 3, prop. 8, on a

N_{\mathbf{H}/\mathbf{R}}(q) = (\mathrm{Nrd}_{\mathbf{H}/\mathbf{R}}(q))^2 = \|q\|^4.

Ceci posé, la prop. 17 montre que

\mathrm{mod}_\mathbf{H}(q) = \|q\|^4.

Une étude plus approfondie de la structure des corps localement compacts sera faite en Alg. comm., chap. VI, § 9.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.