Corollaire 1

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Integration, chapter VII, § 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction sur $X/H'$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , intégrable pour $\mu/\beta'$ . Il existe une partie $(\mu/\beta)$ -négligeable $N$ de $X/H$ ayant la propriété suivante : si $x \in X$ est tel que $\pi(x) \notin N$ , la fonction $\mathbf{f} \circ \omega_x$ sur $H/H'$ , c'est-à-dire la fonction $\dot{\xi} \to \mathbf{f}(\pi'(x\xi))$ , est intégrable pour $\beta/\beta'$ ; l'intégrale $\int_{H/H'} \mathbf{f}(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})$ ne dépend que de $\dot{x} = \pi(x)$ , et est une fonction $(\mu/\beta)$ -intégrable de $\dot{x}$ ; et l'on a

\int_{X/H'} \mathbf{f} d(\mu/\beta') = \int_{X/H} d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'} \mathbf{f}(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi}).

b) Soit $f$ une fonction $\geqslant 0$ sur $X/H'$ , mesurable pour $\mu/\beta'$ et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $(\mu/\beta')$ -intégrables. Alors $\pi(x) \to \int_{H/H'}^* f(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})$ est $(\mu/\beta)$ -mesurable, et l'on a

\int_{X/H'}^* f d(\mu/\beta') = \int_{X/H}^* d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'}^* f(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi}).

c) Soit $\mathbf{f}$ une fonction sur $X/H'$ à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , mesurable pour $\mu/\beta'$ et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $(\mu/\beta')$ -intégrables. Alors, pour que $\mathbf{f}$ soit $(\mu/\beta')$ -intégrable, il suffit que

\int_{X/H}^* d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'}^* |\mathbf{f}(\pi'(x\xi))| d(\beta/\beta')(\dot{\xi}) < +\infty.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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