Corollaire 2

Soient $G$ un groupe localement compact, $A$ et $B$ des sous-groupes fermés de $G$ tels que $A \supset B$. On suppose qu'il existe, sur l'espace homogène $G/B$ des classes à gauche suivant $B$, une mesure positive non nulle $\alpha$ invariante par $G$ et bornée.

a) L’image canonique de $\alpha$ dans $G/A$ est une mesure positive non nulle, invariante par $G$, et bornée.

b) $\Delta_G$ coïncide avec $\Delta_A$ sur $A$ et avec $\Delta_B$ sur $B$.

c) Il existe, sur l’espace homogène $A/B$ des classes à gauche de $A$ suivant $B$, une mesure positive non nulle invariante par $A$ et bornée.

L’assertion a) est immédiate. L’assertion b) résulte de a) et du no 6, cor. 2 du th. 3. D’après b), $\Delta_A$ coïncide avec $\Delta_B$ sur $B$, et on peut donc appliquer les résultats du présent numéro en y faisant $X = G, H = A, H' = B$. La fonction 1 sur $G/B$ est $\alpha$-intégrable. D’après le a) du cor. 1, la fonction 1 sur $A/B$ est intégrable pour $\beta/\beta', \beta$ et $\beta'$ désignant des mesures de Haar à gauche de $A$ et $B$; donc $\beta/\beta'$ est bornée.