Exemple 2

Étiquette 0E78, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E78].

Integration, chapter VIII, § 1. Convolution

Soit $M$ un monoïde muni de la topologie discrète ; supposons que, pour tout $m \in M$ , il n’y ait qu’un ensemble fini de couples $(m', m'') \in M \times M$ tels que $m'm'' = m$ ; cela revient à dire que la loi de composition dans $M$ est une application propre de $M \times M$ dans $M$ ; alors les mesures sur $M$ forment, pour la convolution, une algèbre qui n’est autre que l’algèbre large du monoïde $M$ ; signalons les deux cas suivants :

a) $M = \mathbf{N}$ , la loi de composition étant l’addition. À toute mesure $\mu$ sur $\mathbf{N}$ , associons la série formelle

S(\mu) = \sum_{n=0}^{\infty} \mu(\{n\}) t^n

en une indéterminée $t$ . Alors $S(\mu * \mu') = S(\mu) S(\mu')$ . Une remarque analogue s’applique aux séries formelles à un nombre quelconque d’indéterminées.

*b) $M = \mathbf{N}^*$ , la loi de composition étant la multiplication. À toute mesure $\mu$ sur $\mathbf{N}^*$ , associons la série de Dirichlet formelle

D(\mu) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(\{n\}) n^{-s}.

Alors $D(\mu * \mu') = D(\mu) D(\mu')$ *

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.