Remarque 2

Soit $\mu_0 \in \mathscr{M}(X)$. L’application $\lambda \to \lambda * \mu_0$ de $\mathscr{C}'(G)$ dans $\mathscr{M}(X)$ est continue pour les topologies $\sigma(\mathscr{C}'(G), \mathscr{C}(G))$ et $\sigma(\mathscr{M}(X), \mathscr{K}(X))$. En effet, soit $f \in \mathscr{K}(X)$. On a $\langle f, \lambda * \mu_0 \rangle = \langle h, \lambda \rangle$, en posant $h(s) = \int f(sx)d\mu_0(x)$, et l’on a $h \in \mathscr{C}(G)$ (chap. VII, § 1, no 1, lemme 1).