Exemple 6

On peut prendre $f \in L^p(X, \beta),\ g \in L^q(X, \beta)$ et $\mu \in \mathscr{M}^o(G)$ avec $1 \leq p < +\infty,\ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,\ \rho = \chi^{-1/q}$. Les conditions (i) et (ii) sont satisfaites d'après les prop. 5 et 6. Démontrons (iii). On a vu que $\mu$ était portée par un ensemble S réunion dénombrable d'ensembles compacts. On prendra pour $\psi$ la fonction caractéristique de S. La fonction $h$ est $(\mu \otimes \beta)$-mesurable : en effet la fonction $(s, x) \to g(x)\chi(s^{-1})\psi(s)$ l'est, ainsi que la fonction $(s, x) \to f(s^{-1}x)$ d'après le lemme 1. De plus, $g$ étant nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $\beta$-intégrables, $h$ est nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $(\mu \otimes \beta)$-intégrables. On a alors (chap. V, § 8, no 1, prop. 4):

Mais comme $g$ (resp. $\psi$) est nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles intégrables, les intégrales supérieures du second membre de (9) sont égales aux intégrales supérieures essentielles (chap. V, § 2, no 1, prop. 3). Or (chap. V, § 5, no 3, prop. 2) on a

puisque $\mu = \psi \cdot \mu$. D'après la prop. 6, cette dernière intégrale est finie et égale à $(|\mu| *^\beta |f|)(x)$ localement $\beta$-presque partout. On a donc et $J$ est finie puisque $g \in L^q$ et $|\mu| *^\beta |f| \in L^p$ (prop. 6). Donc $h$ est $(\mu \otimes \beta)$-intégrable.

La formule (8) signifie alors que l'endomorphisme

de $L^q(X, \beta)$ est, pour $\mu \in \mathscr{M}^p(G)$, le transposé de l'endomorphisme $f \to \mu * f$ de $L^p(X, \beta)$.