Remarque 3

Le dual de $\mathbf{R}$ est canoniquement isomorphe à $\mathbf{R}$ et les formes quadratiques positives sur $\mathbf{R}$ sont les fonctions de la forme $t \mapsto a t^2$ avec $a \geqslant 0$. Pour tout $a \geqslant 0$, il existe donc une mesure bornée $\gamma_a$ sur $\mathbf{R}$ et une seule dont la transformée de Fourier soit égale à la fonction $t \mapsto e^{-a t^2/2}$; on dit par abus de langage que $\gamma_a$ est la mesure gaussienne sur $\mathbf{R}$ de variance $a$.

La transformée de Fourier de $\gamma_0$ est la constante 1, d'où $\gamma_0 = \varepsilon_0$ (masse unité à l'origine de $\mathbf{R}$). Supposons $a > 0$ et notons $u_a$ l'application linéaire $x \mapsto a^{1/2} x$; on a $\mathscr{F} \gamma_a = \mathscr{F} \gamma_1 \circ t u_a$ d'où $\gamma_a = u_a(\gamma_1)$. Le lemme 2 montre que $\gamma_1$ est la mesure de densité $x \mapsto (2\pi)^{-1/2} e^{-x^2/2}$ par rapport à la mesure de Lebesgue; on en déduit facilement

L'image d'une promesure gaussienne par une application linéaire continue est une promesure gaussienne. De manière précise, on a le résultat suivant: