Théorème 1 (Wiener)

Soit $w$ l’image par $P : \mathscr{H} \to \mathscr{C}$ de la promesure gaussienne canonique sur l’espace de Hilbert $\mathscr{H}$. Alors $w$ est une mesure gaussienne de variance $W$ sur $\mathscr{C}$.

Par construction, on a $W(\mu) = \| tP(\mu) \|_2^2$; la prop. 5 du n° 5 montre que $w$ est une promesure gaussienne de variance $W$. Il reste à prouver que $w$ est une mesure sur $\mathscr{C}$.

A) Construction d’un espace mesuré auxiliaire $(\Omega, m)$: Pour tout entier $n \geq 0$, on note $D_n$ l’ensemble des nombres de la forme $k/2^n$ avec $k = 1, 2, 3, \ldots, 2^n$. On pose $D = \bigcup_{n \geq 0} D_n$ (ensemble des nombres dyadiques contenus dans $T$) et $\Omega = \mathbf{R}^D$. Pour tout $t \in D$, on note $X(t)$ la forme linéaire $f \mapsto f(t)$ sur $\Omega$.

Pour $t, t'$ dans $D$, posons $M(t, t') = \inf (t, t')$; on a vu que $M$ est un noyau de type positif sur $D$. Comme l’ensemble $D$ est dénombrable, on peut définir la mesure gaussienne $m$ sur $\Omega$ de covariance $M$ (n° 6, Exemple 2).