Lemme 3

Pour tout $w \in W$, le polynôme caractéristique de w est à coefficients entiers. On sait (n° 6, th. 3) que le sous-groupe Q(R) de V engendré par R a pour base $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}$. Comme w laisse stable Q(R), sa matrice par rapport à $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}$ est à coefficients entiers; il en est donc de même de son polynôme caractéristique. Soit P le polynôme caractéristique de c. Le lemme ci-dessus montre que les coefficients de P sont entiers. D’après le chap. V, § 6, n° 2, cor. 2 de la prop. 3, la racine primitive h-ème de l’unité $z = \exp(\frac{2i\pi}{h})$ est une racine simple de P. Tout conjugué de z sur Q est donc aussi racine simple de P. Mais on sait (*) que toutes les racines primitives h-èmes de l’unité sont conjuguées sur Q. Elles sont donc toutes racines simples de P, ce qui démontre la proposition.