Remarque 5

Soient $X$ un espace topologique, et pour tout $x \in X$, soit $\mathfrak{V}(x)$ l’ensemble des voisinages de $x$. Soit $x_0$ un point de $X$; pour tout $x \in X$, définissons un ensemble $\mathfrak{V}_0(x)$ de parties de $X$ de la façon suivante: $\mathfrak{V}_0(x_0) = \mathfrak{V}(x_0)$, et pour $x \neq x_0, \mathfrak{V}_0(x)$ est l’ensemble de toutes les parties de $X$ contenant $x$. On vérifie aussitôt (I, p. 3, prop. 2) que les $\mathfrak{V}_0(x)$ sont les ensembles de voisinages des points de $X$ pour une topologie sur $X$; désignons par $X_0$ l’espace topologique ainsi obtenu, par $j$ l’application identique $X_0 \to X$, qui est continue mais non bicontinue en général. Pour qu’une application $f$ de $X$ dans un espace topologique $X'$ soit continue au point $x_0$, il faut et il suffit que l’application composée $X_0 \xrightarrow{j} X \xrightarrow{f} X'$ soit continue dans $X_0$, ainsi qu’il résulte aussitôt des définitions.