Exemple

I: Topologie quotient. — Soient $X$ un espace topologique, $R$ une relation d’équivalence sur $X$, $Y = X/R$ l’ensemble quotient de $X$ par cette relation, $\varphi : X \to Y$ l’application canonique. La topologie la plus fine sur $Y$ rendant continue $\varphi$ est appelée topologie quotient de celle de $X$ par la relation $R$; nous l’étudierons plus en détail au § 3.

II: Borne inférieure d’un ensemble de topologies. — Toute famille $(\mathscr{T}_i)_{i \in I}$ de topologies sur un ensemble $X$ admet une borne inférieure $\mathscr{T}$ dans l’ensemble des topologies sur $X$, autrement dit $\mathscr{T}$ est la plus fine des topologies qui sont moins fines que toutes les $\mathscr{T}_i$. Il suffit en effet d’appliquer la prop. 6 en prenant pour $Y_i$ l’ensemble $X$ muni de $\mathscr{T}_i$ et pour $f_i$ l’application identique $Y_i \to X$. Si $\mathscr{O}_i$ est l’ensemble des parties de $X$ ouvertes pour $\mathscr{T}_i$, l’ensemble $\bigcap_{i \in I} \mathscr{O}_i$ est l’ensemble des parties de $X$ ouvertes pour $\mathscr{T}$. On dit aussi que $\mathscr{T}$ est l’intersection des $\mathscr{T}_i$.

III: Somme d’espaces topologiques. — Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques, $X$ l’ensemble somme des $X_i$ (E, II, p. 30, déf. 8); pour tout $i \in I$, soit $j_i$ l’application canonique (injective) de $X_i$ dans $X$. La topologie $\mathscr{T}$ sur $X$ la plus fine rendant continues les $j_i$ est appelée la topologie somme des topologies des $X_i$, et on dit que $X$, muni de cette topologie, est l’espace somme des espaces topologiques $X_i$. Identifions chacun des $X_i$ à une partie de $X$ au moyen de $j_i$; pour qu’un ensemble $A \subset X$ soit ouvert (resp. fermé) pour $\mathscr{T}$, il faut et il suffit que chacun des ensembles $A \cap X_i$ soit ouvert (resp. fermé) dans $X_i$. En particulier, chacun des $X_i$ est à la fois ouvert et fermé.

IV: La proposition suivante généralise la situation de l’exemple III: