Bài tập 7, § 1

Cho $A = \prod_{i=1}^n A_i$, là tích của một họ hữu hạn các vành, các A được đồng nhất một cách chính tắc với các iđêan của A. Cho B là một vành con của A sao cho pr_iB = A, với $1 \leq i \leq n$.

(a) Chứng minh rằng, nếu các A là Noether (tương ứng, Artin), thì B là Noether (tương ứng, Artin) (xem Đại số, Chương VIII, § 2, Bài tập 12).

(b) Gọi n, là iđêan của B là hạt nhân của hạn chế của pr, lên B. Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố p của B được chứa trong một trong các n_i (sử dụng Mệnh đề 1); suy ra rằng, với chỉ số i này, pr, p ≠ A,. Chứng minh rằng, nếu mỗi A, chỉ chứa một số hữu hạn k, các iđêan cực đại, thì B chứa nhiều nhất $\sum_{i=1}^n k_i$ iđêan cực đại.

(c) Gọi % (A), R(B) lần lượt là các căn Jacobson của A và B. Chứng minh rằng R(B) = B ∩ % (A). Nếu mỗi A, chỉ chứa một số hữu hạn các iđêan cực đại, chứng minh rằng, với mọi số nguyên $k > 1$, pr_i((R(B))^k) = (R(A_i))^k cho all i và (R(B))^k = (R(A))^k ∩ B (viết R(B) dưới dạng tích của các iđêan cực đại phân biệt và chú ý rằng, nếu m là một iđêan cực đại của B sao cho pr_i(m) = m_i là một iđêan cực đại của A,, thì pr_i(m^k) = m_i^k).