Bài tập 4, § 4

Cho Y là một không gian bất khả quy thừa nhận một điểm tổng quát duy nhất y, X là một không gian tôpô và $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục.

(a) Với mọi thành phần bất khả quy Z của X giao với $\overline{f^{-1}(y)}$, $f(Z)$ là trù mật trong Y.

(b) Hãy cho một ví dụ trong đó $f(X)$ là trù mật trong Y nhưng $\overline{f^{-1}(y)}$ là rỗng (lấy X là một không gian con của Y).

(c) Chứng minh rằng, nếu Z thừa nhận một điểm tổng quát z và $f(Z)$ là trù mật trong Y, thì $f(z) = y$ và z là một điểm tổng quát của $Z \cap \overline{f^{-1}(y)}$.