Bài tập 23, § 2

Cho $B$ là một miền Krull, $E$ là trường các phân thức của nó, $A$ là một đạo hàm của $E$ sao cho $\Delta(B) \subset B$, $K$ là trường con của $E$ là hạt nhân của $A$ và $A$ là miền Krull $B \cap K$; giả sử rằng $K$ có đặc số $p > 0$; khi đó $E^p \subset K$ và $B^p \subset A$, do đó $B$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $E$ và đồng cấu chính tắc $\tilde{i}: C(A) \to C(B)$ được xác định ($§ 1$, no. 10). Ký hiệu $U$ là nhóm các phần tử khả nghịch của $B$.

(a) Nếu $b \in E$ sao cho $\operatorname{div}_B(b)$ là ảnh chính tắc của một ước trong $D(A)$, hãy chứng minh rằng $\Delta b/b \in B$ (chú ý rằng với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{P}$ của $B$ có chiều cao 1 tồn tại $b' \in K$ sao cho $v_{\mathfrak{P}}(b) = v_{\mathfrak{P}}(b')$ và nhận xét rằng $B_1$ là bất biến đối với $A$). Gọi $L$ là nhóm con cộng tính của $B$ gồm các $\Delta b/b$ ("đạo hàm logarit") thuộc về $B$ (với $b \in E$ hoặc $b \in B$, điều này tương đương nhau, và $b \neq 0$) và gọi $L'$ là nhóm con của $L$ gồm các $\Delta u/u$, trong đó $u \in U$. Hãy chứng minh rằng, với mọi ước $d \in D(A)$ sao cho ảnh của $d$ là một ước chính trong $D(B)$, lớp mod. $L'$ của $\Delta b/b$ với mọi $b$ sao cho $i(d) = \operatorname{div}_B(b)$ chỉ phụ thuộc vào lớp của $d$ trong $C(A)$ và suy ra một đồng cấu đơn cấu chính tắc $\dagger$ của $\operatorname{Ker}(\tilde{i})$ vào $L/L'$.

(b) Chứng minh rằng, nếu $\Delta(B)$ không được chứa trong iđêan nguyên tố nào của $B$ có chiều cao 1 và $[E: K] = p$, thì $\phi$ là song ánh. (Rút gọn về việc chứng minh rằng, nếu $b \in E$ sao cho $\Delta b/b \in B$ và $\mathfrak{P}$ là một iđêan nguyên tố của $B$ có chiều cao 1 sao cho $v_{\mathfrak{P}}(b)$ không phải là một bội của $p$, thì $e(\mathfrak{P}/p) = 1$, trong đó $p = \mathfrak{P} \cap A$; với điều này, suy ra từ giả thiết rằng, nếu $t$ là một phần tử đồng nhất hóa của $B_{\mathfrak{P}}$, thì $\Delta t/t \in B_{\mathfrak{P}}$, sao cho $\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$ là bất biến dưới tác động của $A$ và do đó $A$ xác định bằng cách lấy thương một đạo hàm $\overline{\Delta}$ của trường thặng dư $k = B_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}$; chứng minh rằng $\overline{\Delta} \neq 0$ và suy ra rằng $f(\mathfrak{P}/p) = p.$)

(c) Cho $k$ là một trường có đặc số 2, $B$ là vành đa thức $k[X, Y, Z]$ và $A$ là đạo hàm của $E = k(X, Y, Z)$ sao cho $\Delta(X) = Y^4, \Delta(Y) = X^2, \Delta(Z) = XYZ$; trường $K$ là hạt nhân của $A$ sao cho $[E : K] = 4$. Khi đó $\Delta(Z)/Z \in B$, nhưng chứng minh rằng $\operatorname{div}_B(Z)$ không phải là ảnh chính tắc của một ước trong $D(A)$. (Lập luận bằng phản chứng, giả sử rằng $e(\mathfrak{P}/p) = 1$ với $\mathfrak{P} = BZ, p = \mathfrak{P} \cap A$; khi đó sẽ có trong $A$ một phần tử đồng nhất hóa của $B$, nhất thiết có dạng $a(X, Y, Z)Z$ trong đó $b = a(X, Y, 0) \neq 0$; suy ra rằng $\Delta b/b = -XY$ và thu được một mâu thuẫn bằng cách tính $A(-XY)$.)