Bài tập 24, § 2

(a) Cho $E$ là một trường có đặc số 2, $A$ là một đạo hàm của $E$ và $K$ là trường con của $E$ là hạt nhân của $A$; giả sử rằng $[E : K] = 2$. Chứng minh rằng $\Delta^2 = a\Delta$ với $a \in K$ và rằng để một phần tử $t \in E$ có dạng $\Delta x/x$, điều kiện cần và đủ là $At = at + t^2$.

(b) Cho $B$ là một miền nguyên địa phương phân tích thành nhân tử có đặc số 2, $m$ là iđêan cực đại của nó, $E$ là trường các phân thức của nó và $A$ là một đạo hàm của $E$; giả sử rằng trường con $K$ của $E$, là hạt nhân của $A$, thỏa mãn $[E : K] = 2$; hơn nữa, giả sử rằng tồn tại hai phần tử $x, y$ của $m$ sao cho $Ax$ và $Ay$ sinh iđêan $q$ của $B$ sinh bởi $\Delta(B)$. Chứng minh khi đó rằng, nếu $t = \Delta z/z$ thuộc $q$, thì tồn tại một phần tử khả nghịch $u$ của $B$ sao cho $t = \Delta u/u$ (viết $t = r\Delta x + s\Delta y$, trong đó $r, s$ thuộc $B$, và sử dụng (a)).