Bài tập 25, § 2

Cho $k$ là một trường có đặc số 2, $B$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức $k[[X, Y]]$, $E$ là trường các phân thức của nó và $A$ là $k$-đạo hàm của $E$ được xác định bởi $\Delta(X) = Y^{2j}, \Delta(Y) = X^{2i}$ ($i, j$ là các số nguyên $\geqslant 0$); vành con $A$ của $B$ gồm các $x \in B$ sao cho $Ax = 0$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trong $k[[X, Y, Z]]$ trong đó $X^2$ được thay cho $X$, $Y^2$ được thay cho $Y$ và $X^{2i+1} + Y^{2j+1}$ được thay cho $Z$.

(a) Chứng minh rằng nhóm $C(A)$ chứa một không gian vectơ trên $k$ có chiều $N(i, j)$ bằng số các cặp số nguyên có thứ tự $(a, b)$ sao cho $0 \leq a < i, 0 \leq b < j$ và $(2j+1)a + (2i+1)b \geq 2ij$. (Sử dụng Bài tập 23 (b) và Bài tập 24 (a), chú ý rằng các phần tử của $L$ là các chuỗi lũy thừa hình thức $F \in B$ sao cho $AF = F^2$; gán cho $X$ trọng số $2j+1$ và cho $Y$ trọng số $2i+1$, phân tích $F$ thành một tổng vô hạn các đa thức đẳng trọng; nếu $L_r$ là nhóm con của $L$ gồm các $F \in L$ mà các thành phần đẳng trọng của chúng có trọng số $\geq q$, $L/L'$ đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm $C_q/C_{q+1}$, trong đó $C_q = L_q/(L' \cap L_r)$; tính các nhóm này với $q \geq 4ij$, sử dụng Bài tập 24 (b).)

(b) Chứng minh rằng iđêan $AX^2$ của $A$ là nguyên tố; nếu $A' = A[X^{-2}]$, suy ra rằng $C(A')$ và $C(A)$ đẳng cấu (no. 4, Mệnh đề 3). Chứng minh rằng $A'$ là miền Dedekind (xét vành $B' = B[X^{-2}]$, là nguyên trên $A'$ và là miền iđêan chính, và sử dụng Chương V, § 2, no. 4, Định lý 3). Suy ra một ví dụ về một miền Dedekind có nhóm lớp iđêan vô hạn.