Bài tập 26, § 2

Cho $A$ là một miền nhân tử và $K$ là trường phân thức của nó. Để các phần tử $f_i$ ($1 \leq i \leq r$) của $B = A[X_1, \ldots, X_n]$ sao cho iđêan $\sum_{i=1}^r Bf_i$ bằng B, điều kiện cần và đủ là tồn tại các đa thức $v_i$ ($1 \leq i \leq r$) trong $K[X_1, \ldots, X_n]$ sao cho $\sum_{i=1}^r v_i f_i = 1$ và thỏa mãn thêm điều kiện sau: nếu ta viết $v_i = w_i / d$, với $d \in \mathbf{A}$, các đa thức $w_i$ thuộc $\mathbf{A}[X_1, \ldots, X_n]$ và ước chung lớn nhất của tập hợp các hệ số của tất cả các $w_i$ ($1 \leq i \leq r$) bằng 1, thì, với mọi phần tử cực biên $\mathfrak{a}$ của $\mathbf{A}$ chia hết $d$, iđêan sinh bởi các lớp của chúng trong vành $(\mathbf{A}/\mathfrak{A}\mathfrak{p})[X_1, \ldots, X_n]$ là toàn bộ vành này.