Bài tập 27, § 2

(a) Cho $K$ là một trường và $B$ là vành được sinh, trong một bao đóng đại số của trường các hàm hữu tỉ $K(U, V, X, Y)$ theo 4 bất định, bởi vành đa thức $K[U, V, X, Y]$ và một nghiệm $z$ của đa thức

Chứng minh rằng $B$ là một miền nhân tử duy nhất (xem Bài tập 7).

(b) Cho $\mathfrak{p}$ là iđêan (nguyên tố) được sinh bởi $X, Y, U, V$ và $z$ trong $A$ và viết $C = A_{\mathfrak{p}}[[T]]$; chứng minh rằng $C$ là một miền nguyên địa phương Noether, không phải là miền nhân tử duy nhất, nhưng miền nguyên phân bậc liên kết $\mathrm{gr}(C)$ của nó là miền nhân tử duy nhất (sử dụng Bài tập 8).