Bài tập 10, § 4

Ta sử dụng các ký hiệu của hai bài tập trước. Cho $l \in \mathbf{N}$ và $A \subset \mathscr{M}_l$. Với mọi cặp $(i, d)$ ta đặt

và ký hiệu $C_{(i;d)}A$ là tập hợp gồm các phần tử đầu tiên của $(\mathscr{M}_l)_{(i;d)}$ với số phần tử bằng $\mathrm{Card}(A_{(i;d)})$ (theo thứ tự từ điển). Ta đặt $C_iA = \bigcup_{d=1}^l C_{(i;d)}A$. a) Với mọi $m \in \mathscr{M}_l$, ta ký hiệu $\pi(m)$ là phần tử đứng trước trong $\mathscr{M}_l$ của $m$ theo thứ tự từ điển nghịch đảo, khi nó tồn tại (nghĩa là $m \neq X_1^l$). Cho $i$ là một số nguyên sao cho $1 < i$ và $a_i$ là một số nguyên dương ngặt. Chứng minh rằng ta có b) Cho $A \subset \mathscr{M}_l$ và $p \geq 4$ sao cho ta có $A \subset [X_p^l]$ (nghĩa là các đơn thức thuộc $A$ chỉ chứa các biến $X_j, 1 \leq j \leq p$). Giả sử rằng với mọi số nguyên $i$, sao cho $1 \leq i \leq p$, ta có $A = C_iA$. Chứng minh rằng $A = CA$ (các ký hiệu của bài tập 9, d)). c) Cho $A \subset \mathscr{M}_l$ sao cho $A \subset [X_3^l]$ và $A = C_iA$ với $i = 1, 2, 3$. Đặt $A = \bigcup_{k=0}^l B_kX_3^k$ với $B_k \subset [X_2^{l-k}]$ và $b(k) = \mathrm{Card}(B_k)$. Chứng minh rằng $B_k$ là một tập con ban đầu của $\mathscr{M}_{l-k}$, rằng ta có $0 \leq b(0) \leq l + 1, b(k+1) < b(k)$ nếu $b(k) \neq 0$, và rằng $k \mapsto b(k)$ là giảm. Xét đảo lại của mệnh đề này. Gọi $\mu$ là số các số nguyên $k$ sao cho $b(k) = l + 1 - k$. Chứng minh rằng $\mathrm{Card}(dA) = (\mathrm{Card}(A)) - \mu$.