Gửi bạn đọc

1. Bộ sách này, danh mục được cho ở các trang ix và x, trình bày toán học từ khởi đầu, và cho các chứng minh đầy đủ. Về nguyên tắc, nó không đòi hỏi nơi người đọc một kiến thức riêng biệt nào về toán học, mà chỉ đòi hỏi một sự quen thuộc nào đó với lập luận toán học và một năng lực nào đó về tư duy trừu tượng. Tuy nhiên, nó đặc biệt hướng đến những người đã có một kiến thức tốt ít nhất về nội dung của một hoặc hai năm đầu của một khóa học toán đại học.

2. Phương pháp trình bày mà chúng tôi đã chọn là tiên đề và trừu tượng, và thông thường đi từ cái tổng quát đến cái riêng biệt. Sự lựa chọn này được quy định bởi mục đích chính của bộ sách, đó là cung cấp một nền tảng vững chắc cho toàn bộ nền toán học hiện đại. Vì mục đích ấy, điều không thể thiếu là trở nên quen thuộc với một số khá lớn các ý tưởng và nguyên lý rất tổng quát. Hơn nữa, các đòi hỏi của chứng minh áp đặt một trật tự được xác định một cách nghiêm ngặt lên chất liệu của môn học. Do đó, ích dụng của một số xem xét nào đó sẽ không hiện ra ngay lập tức đối với người đọc trừ khi người ấy đã có sẵn một kiến thức toán học khá rộng; nếu không, người ấy phải có đủ kiên nhẫn để đình chỉ sự phán đoán cho đến khi dịp thích hợp xuất hiện.

3. Để giảm bớt bất lợi này, chúng tôi đã thường xuyên chèn vào văn bản những ví dụ quy chiếu đến các sự kiện mà người đọc có thể đã biết nhưng chưa được bàn đến trong bộ sách. Những ví dụ như vậy luôn luôn được đặt giữa hai dấu hoa thị: \* ... *. Phần lớn độc giả hẳn sẽ thấy rằng những ví dụ ấy sẽ giúp họ hiểu văn bản, và sẽ thích không bỏ qua chúng, ngay cả trong lần đọc đầu tiên. Dĩ nhiên, việc bỏ chúng đi sẽ không gây bất lợi nào, xét từ một quan điểm lôgic thuần túy.

4. Bộ sách này được chia thành các tập (ở đây gọi là “Sách”). Sáu Sách đầu tiên được đánh số và, nói chung, mỗi mệnh đề trong văn bản chỉ giả thiết đã biết những kết quả đã được bàn đến trong các tập đi trước. Quy tắc này vẫn đúng trong mỗi Sách, nhưng để thuận tiện cho trình bày, các Sách này không còn được sắp theo một trật tự liên tiếp nữa. Ở đầu mỗi Sách ấy (hoặc mỗi chương ấy), người đọc sẽ thấy một chỉ dẫn chính xác về quan hệ lôgic của nó với các Sách khác và nhờ đó sẽ có thể tự xác định sự vắng mặt của mọi vòng luẩn quẩn.

5. Khung lôgic của mỗi chương gồm các định nghĩa, các tiên đề, và các định lý của chương. Đó là những phần chủ yếu phải được ghi nhớ để dùng về sau. Những kết quả ít quan trọng hơn và những kết quả có thể dễ dàng suy ra từ các định lý thì được gắn nhãn là "mệnh đề", "bổ đề", "hệ quả", "nhận xét", v.v. Những kết quả nào có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên thì được in bằng cỡ chữ nhỏ. Một lời bình luận về một định lý đặc biệt quan trọng thỉnh thoảng xuất hiện dưới tên gọi "chú giải."

Để tránh những sự lặp lại tẻ nhạt, đôi khi thật tiện lợi khi đưa vào các ký hiệu hoặc chữ viết tắt chỉ có hiệu lực trong một chương nhất định hoặc một tiết diện nhất định của một chương (chẳng hạn, trong một chương chỉ xét các vành giao hoán, từ "vành" sẽ luôn luôn có nghĩa là "vành giao hoán"). Những quy ước như vậy luôn luôn được nêu ra một cách tường minh, nói chung ở đầu chương nơi chúng xuất hiện.

6. Một số đoạn trong văn bản nhằm báo trước cho người đọc về những sai lầm nghiêm trọng. Những đoạn này được đánh dấu ở lề bằng ký hiệu ☡ ("khúc ngoặt nguy hiểm").

7. Các Bài tập được đặt ra vừa để giúp người đọc tự xác định rằng mình đã lĩnh hội văn bản, vừa để lưu ý người đọc đến những kết quả không có chỗ trong văn bản nhưng dầu sao vẫn đáng quan tâm. Những bài tập khó nhất mang dấu ¶.

8. Nói chung, chúng tôi đã tuân theo thuật ngữ được chấp nhận thông thường, trừ ở những chỗ dường như có những lý do xác đáng để lệch khỏi nó.

9. Chúng tôi đã đặc biệt cố gắng luôn luôn dùng một ngôn ngữ chặt chẽ đúng đắn, mà không hy sinh tính đơn giản. Chừng nào có thể, chúng tôi đã lưu ý trong văn bản đến những cách dùng lỏng của ngôn ngữ, thiếu chúng thì bất kỳ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở thành kiểu cách, chưa nói đến việc không thể đọc được.

10. Vì về nguyên tắc văn bản gồm sự trình bày giáo điều của một lý thuyết, nên nói chung nó không chứa các quy chiếu đến tài liệu. Các tài liệu tham khảo thư mục được gom lại trong các Ghi chú lịch sử, thường ở cuối mỗi chương. Các ghi chú ấy cũng chứa những chỉ dẫn, ở những nơi thích hợp, về các bài toán chưa giải quyết của lý thuyết.

Thư mục theo sau mỗi ghi chú lịch sử nói chung chỉ chứa những sách và những hồi ký gốc đã có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang được bàn đến. Nó hoàn toàn không có tham vọng là đầy đủ; đặc biệt, những quy chiếu chỉ nhằm xác định các vấn đề về ưu tiên hầu như luôn luôn bị bỏ đi.

Đối với các bài tập, nói chung chúng tôi đã không cho là đáng công để chỉ ra nguồn gốc của chúng, vì chúng đã được lấy từ nhiều nguồn khác nhau (các bài báo gốc, sách giáo khoa, các tuyển tập bài tập).

11. Các quy chiếu đến một phần của bộ sách này được cho như sau:

a) Nếu quy chiếu đến các định lý, tiên đề, hoặc định nghĩa được trình bày trong cùng tiết diện, thì chúng được dẫn bằng số của chúng. b) Nếu chúng xuất hiện trong một tiết diện khác của cùng chương, thì tiết diện ấy cũng được dẫn trong quy chiếu. c) Nếu chúng xuất hiện trong một chương khác của cùng Sách, thì chương và tiết diện được dẫn. d) Nếu chúng xuất hiện trong một Sách khác, thì trước hết Sách ấy được dẫn bằng nhan đề của nó.

Các Tóm tắt & Kết quả được dẫn bằng chữ R: do đó lý thuyết tập hợp, R có nghĩa là "Tóm tắt các kết quả của lý thuyết tập hợp."