Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông chỉ các tài liệu tham khảo ở cuối Ghi chú này.)

Có rất ít khái niệm trong Toán học nguyên thủy hơn khái niệm về một luật hợp thành: nó dường như không thể tách rời khỏi những bước đầu tiên của các phép tính trên các số tự nhiên và các đại lượng đo được. Những tài liệu cổ xưa nhất còn lưu lại cho chúng ta về Toán học của người Ai Cập và người Babylon cho thấy rằng họ đã có một hệ thống đầy đủ các quy tắc để tính toán với các số tự nhiên $> 0$, các số hữu tỉ $> 0$, các độ dài và diện tích; mặc dù các văn bản được bảo tồn chỉ đề cập đến những bài toán trong đó các đại lượng đã cho có các giá trị số tường minh,\footnote{Không được quên rằng Viète (thế kỷ 16) là người đầu tiên dùng các chữ cái để biểu thị tất cả các phần tử (đã biết và chưa biết) xuất hiện trong một bài toán đại số. Cho đến thời điểm đó, những bài toán duy nhất được giải trong các chuyên luận về Đại số đều có các hệ số bằng số; khi một tác giả nêu một quy tắc tổng quát để xử lý các phương trình tương tự, ông ta đã làm điều đó (tốt nhất có thể) bằng ngôn ngữ thông thường; khi không có một mệnh đề tường minh thuộc kiểu này, cách thức tiến hành các phép tính trong những trường hợp số được xét khiến việc sở hữu một quy tắc như vậy trở nên ít nhiều đáng tin cậy.} chúng không để lại cho chúng ta chút nghi ngờ nào về tính tổng quát mà họ gán cho các quy tắc được sử dụng và cho thấy một khả năng kỹ thuật khá đáng chú ý trong việc biến đổi các phương trình bậc nhất và bậc hai ([1], p. 179 và tiếp theo). Mặt khác, không có một dấu vết nhỏ nhất nào của sự quan tâm đến việc biện minh cho các quy tắc được dùng, cũng như của các định nghĩa chính xác về các phép toán xuất hiện: cả cái sau lẫn cái trước đều nảy sinh theo một cách thuần túy thực nghiệm.

Tuy nhiên, chính sự quan tâm như vậy đã được biểu hiện rất rõ ràng trong các công trình của người Hy Lạp thời kỳ cổ điển; đúng là không tìm thấy một cách xử lý tiên đề nào đối với lý thuyết các số tự nhiên (một sự tiên đề hóa như vậy chỉ xuất hiện vào cuối thế kỷ 19; xem Ghi chú Lịch sử của Lý thuyết tập hợp, IV); nhưng trong Cơ sở của Euclid có rất nhiều đoạn đưa ra các chứng minh hình thức của các quy tắc tính toán vốn cũng trực giác “hiển nhiên” như những quy tắc tính toán với các số nguyên (chẳng hạn, tính giao hoán của tích hai số hữu tỉ). Những chứng minh đáng chú ý nhất thuộc loại này là những chứng minh liên quan đến lý thuyết các đại lượng, một sáng tạo độc đáo nhất của Toán học Hy Lạp (tương đương, như đã biết, với lý thuyết các số thực > 0 của chúng ta; xem Ghi chú Lịch sử của Tôpô đại cương, IV); tại đây Euclid xét, trong số những điều khác, tích của hai tỷ số các đại lượng và chỉ ra rằng nó độc lập với dạng biểu diễn của các tỷ số này (ví dụ đầu tiên về một "thương" của một luật hợp thành bởi một quan hệ tương đương theo nghĩa của § 1, no. 6) và rằng chúng giao hoán ([2], Quyển V, Mệnh đề 22–23).†

Tuy nhiên không được che giấu rằng sự tiến bộ này hướng tới tính chặt chẽ đi kèm ở Euclid với sự đình trệ và thậm chí theo một số phương diện là sự thụt lùi xét về kỹ thuật các phép tính đại số. Sự vượt trội áp đảo của Hình học (dưới ánh sáng của nó mà lý thuyết các đại lượng hiển nhiên được hình thành) làm tê liệt mọi sự phát triển độc lập của ký hiệu đại số: các phần tử tham gia vào các phép tính luôn phải được "biểu diễn" bằng hình học; hơn nữa hai luật hợp thành xuất hiện không được định nghĩa trên cùng một tập hợp (phép cộng các tỷ số không được định nghĩa theo một cách tổng quát và tích của hai độ dài không phải là một độ dài mà là một diện tích); kết quả là sự thiếu linh hoạt khiến việc thao tác các quan hệ đại số có bậc lớn hơn bậc hai gần như không thể thực hiện được.

Chỉ với sự suy tàn của Toán học Hy Lạp cổ điển thì Diophantus mới quay trở lại truyền thống của những "nhà tính toán" hay những người tính toán chuyên nghiệp, những người đã tiếp tục áp dụng các quy tắc mà họ thừa hưởng từ người Ai Cập và người Babylon: không còn bị vướng bận bởi các biểu diễn hình học của những "số" mà ông xét, ông tự nhiên được dẫn tới sự phát triển của các quy tắc tính toán đại số trừu tượng; chẳng hạn, ông đưa ra các quy tắc mà (bằng ngôn ngữ hiện đại) tương đương với công thức $x^{m+n} = x^m x^n$ đối với các giá trị nhỏ (dương hoặc âm) của $m$ và $n$ ([3], tập I, tr. 8–13); một ít sau đó (tr. 12–13), "quy tắc dấu" được nêu ra, những bước đầu của phép tính với các số âm‡; cuối cùng, Diophantus lần đầu tiên dùng một chữ cái để biểu thị một ẩn trong một phương trình. Ngược lại, dường như ông ít quan tâm đến việc gắn một ý nghĩa tổng quát cho các phương pháp mà ông áp dụng để giải các bài toán của mình; còn đối với quan niệm tiên đề về các luật hợp thành như Euclid đã bắt đầu, điều này dường như xa lạ với tư tưởng của Diophantus cũng như của những người kế tục trực tiếp ông; nó chỉ xuất hiện trở lại trong Đại số vào đầu thế kỷ 19.

Trong các thế kỷ xen giữa, trước hết cần có, một mặt, sự phát triển của một hệ thống ký hiệu đại số thích hợp cho việc biểu đạt

† Euclid thực sự không đưa ra ở đây một định nghĩa hình thức nào về tích của hai tỷ số và định nghĩa được tìm thấy ngay sau đó trong Cơ sở (Quyển VI, Định nghĩa 5) được xem là đã được thêm vào: dĩ nhiên ông có một quan niệm hoàn toàn rõ ràng về phép toán này và các tính chất của nó.

‡ Dường như Diophantus không biết đến các số âm; vì vậy quy tắc này chỉ có thể được hiểu là liên quan đến phép tính các đa thức và cho phép "khai triển" các tích như $(a - b)(c - d)$.

của các luật trừu tượng và mặt khác là sự mở rộng khái niệm “số” đủ để, thông qua việc quan sát một phạm vi đủ rộng các trường hợp đặc biệt, đưa đến một quan niệm tổng quát. Vì mục đích này, lý thuyết tiên đề về các tỉ số của các đại lượng do người Hy Lạp xây dựng là không đủ, vì nó không làm gì hơn là làm chính xác khái niệm trực giác về một số thực $> 0$ và các phép toán trên những số này, vốn đã được người Babylon biết đến dưới một dạng rối rắm hơn; giờ đây người ta sẽ xét những “số” mà người Hy Lạp không có khái niệm nào về chúng và thoạt đầu không có “biểu diễn” có ý nghĩa nào: một mặt, số không và các số âm xuất hiện vào đầu thời Trung Cổ trong Toán học Ấn Độ; mặt khác, các số ảo, sản phẩm của các nhà đại số Ý thế kỷ 16.

Ngoại trừ số không, ban đầu được đưa vào như một dấu phân cách trước khi được xem là một số (xem Ghi chú lịch sử về Lý thuyết tập hợp, III), đặc trưng chung của các mở rộng này là (ít nhất lúc đầu) chúng thuần túy “hình thức”. Điều này phải được hiểu là các “số” mới trước hết xuất hiện như kết quả của các phép toán áp dụng vào những tình huống mà, theo đúng định nghĩa ngặt của chúng, chúng không có ý nghĩa (chẳng hạn, hiệu $a - b$ của hai số tự nhiên khi $a < b$): do đó mới có những tên gọi “false”, “fictive”, “absurd”, “impossible”, “imaginary”, v.v., được gán cho chúng. Đối với người Hy Lạp thời Cổ điển, vốn trên hết say mê tư duy sáng rõ, những mở rộng như vậy là không thể quan niệm được; chúng chỉ có thể nảy sinh với những người tính toán, vốn sẵn sàng hơn người Hy Lạp phô bày một niềm tin có phần thần bí vào sức mạnh của các phương pháp của mình (“tính tổng quát của Giải tích” như người ta sẽ nói vào thế kỷ 18) và để cho mình bị cuốn theo cơ học của các phép tính mà không xét xem mỗi bước có được đặt trên cơ sở vững chắc hay không; hơn nữa, một sự tin tưởng thường được biện minh $a posteriori$, bởi các kết quả khớp mà sự mở rộng đó dẫn tới, với các thực thể toán học mới này, của những quy tắc tính toán duy nhất đúng, hoàn toàn nghiêm ngặt, đối với các số vốn đã được biết. Điều này giải thích vì sao, từng chút một, những tổng quát hóa khái niệm số này, vốn ban đầu chỉ xuất hiện như những trung gian trong một dãy các phép toán mà điểm đầu và điểm cuối là những “số” thực sự, lại được xem xét vì chính bản thân chúng (độc lập với mọi áp dụng vào các phép tính cụ thể); một khi bước này đã được thực hiện, người ta tìm kiếm những cách giải thích ít nhiều có thể hình dung được, những đối tượng mới nhờ đó giành được quyền tồn tại trong Toán học.†

Về vấn đề này, người Ấn Độ đã nhận thức được cách diễn giải cần dành cho các số âm trong một số trường hợp (chẳng hạn một món nợ trong một bài toán thương mại). Trong những thế kỷ tiếp theo, khi các phương pháp và kết quả của toán học Hy Lạp

† Việc tìm kiếm này chỉ là một giai đoạn chuyển tiếp trong sự tiến hóa của các khái niệm đang xét; từ giữa thế kỷ 19 đã có sự quay trở lại, lần này hoàn toàn có chủ ý, với một quan niệm hình thức về các mở rộng khác nhau của khái niệm số, một quan niệm cuối cùng đã được tích hợp vào quan điểm “hình thức luận” và tiên đề, vốn chi phối toàn bộ toán học hiện đại.

và Ấn Độ lan truyền sang phương Tây (qua người Ả Rập), việc thao tác với những số này trở nên quen thuộc hơn và chúng mang những “biểu diễn” khác có tính chất hình học hoặc động học. Với sự cải tiến dần dần của ký hiệu đại số, đây là tiến bộ đáng kể duy nhất trong Đại số vào cuối thời Trung Cổ.

Vào đầu thế kỷ 16, Đại số có một bước tiến mới nhờ các nhà toán học thuộc trường phái Ý phát hiện ra nghiệm “bằng căn thức” của các phương trình bậc 3 rồi bậc 4 (về vấn đề này chúng ta sẽ nói chi tiết hơn trong Ghi chú lịch sử về Đại số, V); chính tại thời điểm này, bất chấp sự ác cảm của mình, họ cảm thấy buộc phải đưa các số ảo vào trong các phép tính; hơn nữa, từng chút một, niềm tin vào phép tính với những số “không thể có” này cũng như với các số âm dần hình thành, mặc dù trong hơn hai thế kỷ không ai quan niệm được một “biểu diễn” nào của chúng.

Mặt khác, ký hiệu đại số đã được Viète và Descartes hoàn thiện một cách quyết định; kể từ Descartes trở đi, ký hiệu đại số ít nhiều chính là ký hiệu mà chúng ta sử dụng ngày nay.

Từ giữa thế kỷ 17 đến cuối thế kỷ 18, dường như những chân trời rộng lớn được mở ra bởi sự sáng tạo của Phép tính vi phân và tích phân đã dẫn đến một sự sao nhãng nào đó đối với Đại số nói chung và đặc biệt đối với sự suy tư toán học về các luật hợp thành và về bản chất của các số thực và phức.† Vì vậy, phép hợp thành của các lực và phép hợp thành của các vận tốc, vốn đã được biết đến trong Cơ học từ cuối thế kỷ 17, không có tác động nào đến Đại số, mặc dù chúng đã chứa mầm mống của phép tính vectơ. Thực ra phải chờ đợi phong trào tư tưởng mà khoảng năm 1800 đã dẫn đến sự biểu diễn hình học của các số phức (xem Ghi chú lịch sử về Tôpô đại cương, VIII) thì mới thấy phép cộng các vectơ được sử dụng trong Toán học thuần túy.‡

Cũng vào khoảng thời gian đó, lần đầu tiên trong Đại số, khái niệm luật hợp thành được mở rộng theo hai hướng khác nhau đến những phần tử chỉ có những tương tự xa với “các số” (theo nghĩa rộng nhất của từ này cho đến lúc đó). Mở rộng đầu tiên trong số này là do C. F. Gauss, nhân dịp những nghiên cứu số học của ông về các dạng toàn phương $ax^2 + bxy + cy^2$ với các hệ số nguyên. Lagrange đã định nghĩa trên tập hợp các dạng với the

† Cần loại trừ các nỗ lực của Leibniz, một mặt nhằm tạo cho các lập luận của logic hình thức một dạng đại số, mặt khác nhằm xây dựng một "phép tính hình học" tác động trực tiếp lên các đối tượng hình học mà không sử dụng tọa độ ([4], tập V, p. 141). Nhưng các nỗ lực này vẫn chỉ là những phác thảo và không tìm được tiếng vang nơi những người cùng thời với ông; chúng chỉ được tiếp tục xem xét lại trong thế kỷ 19 (xem dưới đây).

‡ Phép toán này hơn nữa được đưa vào mà không viện dẫn đến Cơ học; mối liên hệ giữa hai lý thuyết chỉ được các nhà sáng lập Phép tính vectơ nhận ra một cách tường minh trong phần tư thứ hai của thế kỷ 19.

cùng một biệt thức là một quan hệ tương đương† và mặt khác đã chứng minh một đẳng thức cung cấp cho tập hợp này một luật hợp thành giao hoán (không được định nghĩa khắp nơi); bắt đầu từ các kết quả này, Gauss chỉ ra rằng luật này tương thích (theo nghĩa của § 1, no. 6) với một dạng tinh tế hơn của quan hệ tương đương nói trên ([5], tập I, p. 272): "Điều này chỉ ra", ông nói tiếp, "cần phải hiểu gì về lớp hợp thành của hai hay nhiều lớp". Sau đó ông tiến hành nghiên cứu luật "thương", về cơ bản thiết lập rằng nó là (theo ngôn ngữ hiện đại) một luật nhóm giao hoán và làm điều đó bằng các lập luận mà tính tổng quát phần lớn vượt xa trường hợp đặc biệt được Gauss xem xét (chẳng hạn, lập luận mà ông dùng để chứng minh tính duy nhất của phần tử nghịch đảo là đồng nhất với lập luận mà chúng ta đã đưa ra cho một luật hợp thành tùy ý trong § 2, số 3 (sđd., p. 273)). Ông cũng không dừng lại ở đó: quay lại vấn đề này ít lâu sau, ông nhận ra sự tương tự giữa hợp thành của các lớp và phép nhân các số nguyên modulo một số nguyên tố‡ (sđd., p. 371), nhưng cũng chứng minh rằng nhóm các lớp của các dạng toàn phương có biệt thức cho trước không phải lúc nào cũng là một nhóm cyclic; những chỉ dẫn mà ông đưa ra về chủ đề này cho thấy rõ rằng, ít nhất trong trường hợp cụ thể này, ông đã nhận ra cấu trúc tổng quát của các nhóm Abel hữu hạn, mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Chương VII ([5], tập I, p. 374 và tập II, p. 266).

Loạt nghiên cứu khác mà chúng tôi muốn nói đến cũng kết thúc bằng khái niệm về một nhóm và sự đưa vào dứt khoát của nó trong Toán học: đó là "lý thuyết phép thế", sự phát triển các ý tưởng của Lagrange, Vandermonde và Gauss về nghiệm của các phương trình đại số. Chúng tôi không trình bày ở đây lịch sử chi tiết của chủ đề này (xem Ghi chú lịch sử về Đại số, V); chúng ta phải viện dẫn đến định nghĩa của Ruffini và sau đó của Cauchy ([6], (2), tập I, p. 64) về "tích" của hai phép hoán vị của một tập hợp hữu hạn,§

† Hai dạng là tương đương khi một trong chúng biến đổi thành dạng kia bởi một "thay đổi biến" $x' = \alpha x + \beta y, y' = \gamma x + \delta y$, trong đó $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ là các số nguyên sao cho $\alpha \delta - \beta \gamma = 1$.

‡ Điều đáng chú ý là Gauss viết hợp thành của các lớp dạng toàn phương cộng tính, bất chấp sự tương tự mà chính ông chỉ ra và bất chấp việc đẳng thức của Lagrange, định nghĩa hợp thành của hai dạng, gợi ý một cách tự nhiên hơn nhiều ký hiệu nhân (mà hơn nữa tất cả những người kế tục Gauss đều quay lại sử dụng). Sự thờ ơ này trong các vấn đề ký hiệu càng phải là bằng chứng cho tính tổng quát mà Gauss chắc chắn đã đạt tới trong khái niệm của ông về các luật hợp thành. Hơn nữa, ông không giới hạn sự chú ý của mình vào các luật giao hoán, như thấy được từ một đoạn văn không được công bố trong thời gian ông còn sống nhưng có niên đại từ những năm 1819–1820, trong đó ông đưa ra, hơn hai mươi năm trước Hamilton, các công thức về phép nhân các quaternion ([5], tập VIII, p. 357).

§ Khái niệm hàm hợp thành tất nhiên đã được biết đến từ lâu hơn, ít nhất đối với các hàm của các biến thực hoặc phức; nhưng khía cạnh đại số của luật hợp thành này và mối liên hệ với tích của hai phép hoán vị chỉ được làm sáng tỏ trong các công trình của Abel ([7], tập I, p. 478) và Galois.

và những khái niệm đầu tiên liên quan đến các nhóm phép hoán vị hữu hạn: tính bắc cầu, tính nguyên thủy, phần tử đơn vị, các phần tử giao hoán được, v.v. Nhưng các kết quả đầu tiên này, xét toàn bộ, vẫn khá nông cạn và Evariste Galois phải được xem là người khởi đầu thực sự của lý thuyết: sau khi, trong công trình đáng nhớ [8] của mình, quy việc nghiên cứu các phương trình đại số về việc nghiên cứu các nhóm phép hoán vị liên kết với chúng, ông đã đào sâu đáng kể việc nghiên cứu các nhóm sau, cả về các tính chất tổng quát của nhóm (Galois là người đầu tiên định nghĩa khái niệm nhóm con chuẩn và nhận ra tầm quan trọng của nó) lẫn về việc xác định các nhóm có những tính chất đặc biệt (trong đó các kết quả ông thu được cho đến ngày nay vẫn được xem là nằm trong số những kết quả tinh tế nhất của lý thuyết). Ý tưởng đầu tiên về "biểu diễn tuyến tính của các nhóm" cũng bắt nguồn từ Galois† và sự kiện này cho thấy rõ rằng ông đã có khái niệm về đẳng cấu của hai cấu trúc nhóm, độc lập với các "hiện thực hóa" của chúng.

Tuy nhiên, mặc dù những phương pháp tài tình của Gauss và Galois không thể chối cãi đã dẫn họ tới một quan niệm rất rộng về khái niệm luật hợp thành, họ đã không đặc biệt phát triển các ý tưởng của mình về điểm này và các công trình của họ không có ảnh hưởng ngay lập tức đến sự phát triển của Đại số trừu tượng.‡ Bước tiến rõ rệt nhất hướng tới tính trừu tượng được thực hiện theo một hướng thứ ba: sau khi suy ngẫm về bản chất của các số ảo (mà biểu diễn hình học của chúng đã dẫn đến, vào đầu thế kỷ 19, một số lượng đáng kể các công trình), các nhà đại số thuộc trường phái Anh là những người đầu tiên, trong khoảng từ 1830 đến 1850, cô lập khái niệm trừu tượng về luật hợp thành và ngay lập tức họ mở rộng trường của đại số bằng cách áp dụng khái niệm này vào vô số thực thể toán học mới: đại số Logic với Boole (xem Ghi chú lịch sử về Lý thuyết tập hợp, IV), các vectơ và quaternion với Hamilton, các hệ siêu phức tổng quát, các ma trận và các luật không kết hợp với Cayley ([10], tập I, tr. 127 và 301 và tập II, tr. 185 và 475). Một sự phát triển song song cũng được tiến hành độc lập trên Lục địa, đặc biệt trong Phép tính vectơ (Möbius, Bellavitis), Đại số tuyến tính và các hệ siêu phức (Grassmann), mà chúng ta sẽ nói chi tiết hơn trong Ghi chú lịch sử về Đại số, III.§

Từ toàn bộ sự sôi động của những ý tưởng độc đáo và phong phú này, đã làm hồi sinh Đại số trong nửa đầu thế kỷ 19, ngành này đã xuất hiện hoàn toàn đổi mới. Trước đây, các phương pháp và kết quả đều xoay quanh bài toán trung tâm là tìm nghiệm của các phương trình đại số (hoặc các phương trình Diophantine trong Lý thuyết

† Chính tại đây Galois, bằng một mở rộng táo bạo của "chủ nghĩa hình thức" đã dẫn đến các số phức, xét các "nghiệm ảo" của một đồng dư thức modulo một số nguyên tố và do đó phát hiện ra các trường hữu hạn, mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Đại số, V.

‡ Hơn nữa, các công trình của Galois vẫn chưa được biết đến cho đến năm 1846 và các công trình của Gauss chỉ có ảnh hưởng trực tiếp đến Lý thuyết Số.

§ Những lý thuyết chính được phát triển trong thời kỳ này có thể được tìm thấy trong một trình bày đương thời đáng chú ý của H. Hankel [11], trong đó khái niệm trừu tượng về luật hợp thành được hình thành và trình bày hết sức sáng tỏ.

Số): "Đại số", Serret nói trong Lời giới thiệu cho Giáo trình Đại số cao cấp [12], "theo đúng nghĩa, là phép Giải tích các phương trình". Sau năm 1850, mặc dù các chuyên luận về Đại số vẫn dành vị trí ưu tiên cho lý thuyết phương trình trong một thời gian nữa, các công trình nghiên cứu mới không còn bị chi phối bởi mối quan tâm đến những ứng dụng ngay lập tức vào việc tìm nghiệm các phương trình số, mà ngày càng hướng tới điều mà ngày nay được xem là bài toán cốt yếu của Đại số, tức là nghiên cứu các cấu trúc đại số vì bản thân chúng.

Những công trình này khá rõ ràng được chia thành ba dòng chính, lần lượt mở rộng ba trào lưu tư tưởng mà chúng ta đã phân tích ở trên và tiến triển song song mà không ảnh hưởng đáng kể lẫn nhau cho đến những năm cuối của thế kỷ 19.†

Dòng thứ nhất trong số này bắt nguồn từ công trình của trường phái Đức thế kỷ 19 (Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind, Hilbert) trong việc xây dựng lý thuyết về các số đại số, tiếp nối công trình của Gauss, người đã thực hiện nghiên cứu đầu tiên thuộc kiểu này, đó là nghiên cứu các số $a + bi$ ($a$ và $b$ hữu tỉ). Ở đây chúng ta sẽ không theo dõi sự phát triển của lý thuyết này (xem Ghi chú lịch sử về Đại số giao hoán, VII): đối với mục đích của chúng ta, chỉ cần nhắc đến những khái niệm đại số trừu tượng đã nảy sinh tại đây. Ngay từ những người kế tục đầu tiên của Gauss, ý tưởng về một trường (của các số đại số) đã giữ vai trò nền tảng trong tất cả các công trình về chủ đề này (cũng như trong các công trình của Abel và Galois về các phương trình đại số); phạm vi áp dụng của nó được mở rộng khi Dedekind và Weber [13] xây dựng lý thuyết các hàm đại số một biến theo mô hình lý thuyết các số đại số. Dedekind [14] cũng là người đưa ra khái niệm về một iđêan, cung cấp một ví dụ mới về một luật hợp thành giữa các tập hợp phần tử; ông và Kronecker chịu trách nhiệm về vai trò ngày càng quan trọng của các nhóm giao hoán và các môđun trong lý thuyết các trường đại số; chúng ta sẽ trở lại vấn đề này trong các Ghi chú lịch sử về Đại số, III, V và VII.

Chúng ta cũng sẽ đề cập trong các Ghi chú lịch sử về Đại số, III và VIII đến sự phát triển của Đại số tuyến tính và các hệ siêu phức, được tiếp tục mà không đưa vào bất kỳ khái niệm đại số mới nào trong cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, ở Anh (Sylvester, W. Clifford) và Mỹ (B. và C. S. Pierce, Dickson, Wedderburn) theo con đường do Hamilton và Cayley vạch ra, ở Đức (Weierstrass, Dedekind, Frobenius, Molien) và ở Pháp (Laguerre, E. Cartan) độc lập với những nhà Anglo-Saxon và sử dụng những phương pháp hoàn toàn khác biệt.

† Ở đây chúng ta chọn bỏ qua mọi xét đến sự phát triển, trong thời kỳ này, của hình học đại số và lý thuyết bất biến vốn liên quan chặt chẽ với nó; hai lý thuyết này phát triển theo những phương pháp riêng của chúng, hướng tới Giải tích hơn là Đại số, và chỉ mới gần đây chúng mới tìm được vị trí của mình trong công trình đồ sộ của Đại số hiện đại.

Xét về lý thuyết nhóm, lý thuyết này trước hết phát triển chủ yếu như là lý thuyết của các nhóm hoán vị hữu hạn, tiếp theo việc công bố các công trình của Galois và sự phổ biến của chúng qua các công trình của Serret [12] và trên hết là "Traité des Substitutions" vĩ đại của C. Jordan [15]. Sau này, ông đã phát triển ở đó, cải tiến rất nhiều, các công trình của những người tiền nhiệm về các tính chất riêng của các nhóm hoán vị (tính bắc cầu, tính nguyên thủy, v.v.), thu được những kết quả mà phần lớn vẫn chưa bị vượt qua kể từ đó; ông đã nghiên cứu sâu sắc không kém một lớp nhóm riêng rất quan trọng, các nhóm tuyến tính và các nhóm con của chúng; hơn nữa, chính ông là người đưa vào khái niệm cơ bản về một đồng cấu từ một nhóm vào một nhóm khác và cũng (hơi muộn hơn) khái niệm nhóm thương, đồng thời chứng minh một phần của định lý được gọi là "Định lý Jordan-Hölder".† Cuối cùng Jordan là người đầu tiên nghiên cứu các nhóm vô hạn [16], mà S. Lie một mặt và F. Klein cùng H. Poincaré mặt khác sẽ phát triển đáng kể theo hai hướng khác nhau vài năm sau đó.

Trong thời gian đó, người ta dần nhận ra rằng điều cốt yếu trong một nhóm, tức là luật hợp thành của nó chứ không phải bản chất của các đối tượng cấu thành nhóm, (xem chẳng hạn [10], tập II, tr. 123 và 131 và [14], tập III, p. 439). Tuy nhiên, ngay cả các công trình nghiên cứu về các nhóm trừu tượng hữu hạn trong một thời gian dài vẫn được quan niệm như là sự nghiên cứu các nhóm hoán vị và chỉ khoảng năm 1880 lý thuyết độc lập của các nhóm hữu hạn mới bắt đầu phát triển một cách có ý thức. Chúng ta không thể tiếp tục hơn nữa lịch sử của lý thuyết này, vốn chỉ được đề cập rất sơ lược trong Chuyên khảo này; chúng ta chỉ sẽ nhắc đến hai công cụ mà ngày nay vẫn nằm trong số những công cụ được sử dụng nhiều nhất trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn và cả hai đều có từ thế kỷ 19: các định lý Sylow‡ về $p$-nhóm có từ năm 1872 [17] và lý thuyết các ký tự do Frobenius [19] xây dựng trong những năm cuối của thế kỷ. Chúng tôi dẫn người đọc muốn đi sâu vào lý thuyết các nhóm hữu hạn và nhiều bài toán khó mà nó đặt ra đến các chuyên khảo của Burnside [20], Speiser [23], Zassenhaus [24] và Gorenstein [27].

Cũng vào khoảng năm 1880, việc nghiên cứu có hệ thống các biểu diễn nhóm bắt đầu; trước đó người ta chỉ gặp các biểu diễn của những nhóm riêng biệt, chẳng hạn nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_5$ trong một công trình của Hamilton [9 bis] hoặc các nhóm đơn thức của các phương trình vi phân tuyến tính và các mặt Riemann (Schwarz, Klein, Schlafli). W. Dyck là người đầu tiên [18] định nghĩa (mà không đặt tên cho nó) nhóm tự do được sinh bởi một số hữu hạn các phần tử sinh,

† Jordan chỉ thiết lập tính bất biến (theo cấp) của các cấp của các nhóm thương của một "chuỗi Jordan-Hölder" đối với một nhóm hữu hạn; chính O. Hölder đã chỉ ra rằng bản thân các nhóm thương là (theo cấp) độc lập với chuỗi được xét.

‡ Sự tồn tại của một nhóm con có cấp $p^n$ trong một nhóm mà cấp của nó chia hết cho $p^n$ được đề cập không có chứng minh trong các công trình của Galois [8].

nhưng ông ít quan tâm đến nó vì chính bản thân nó hơn là như một đối tượng "phổ quát" cho phép định nghĩa chính xác một nhóm được cho "bởi các phần tử sinh và các quan hệ". Phát triển một ý tưởng lần đầu tiên được Cayley đưa ra và rõ ràng chịu ảnh hưởng mặt khác của các công trình của trường phái Riemann đã được nhắc đến ở trên, Dyck mô tả một cách giải thích về một nhóm có biểu diễn cho trước, trong đó mỗi phần tử sinh được biểu diễn bởi một tích của hai phép nghịch đảo đối với các đường tròn tiếp xúc hoặc cắt nhau (xem thêm Burnside [20], Chương XVIII). Hơi muộn hơn, sau sự phát triển của lý thuyết hàm tự đẳng cấu bởi Poincaré và những người kế tục ông, rồi sự đưa vào bởi Poincaré các công cụ của Tôpô đại số, những nghiên cứu đầu tiên về nhóm cơ bản sẽ ngang hàng với những nghiên cứu về các biểu diễn nhóm (Dehn, Tietze), hai lý thuyết hỗ trợ lẫn nhau. Hơn nữa, chính một nhà tôpô, J. Nielsen, đã đưa vào năm 1924 thuật ngữ nhóm tự do trong nghiên cứu sâu đầu tiên về các tính chất của nó [21], gần như ngay lập tức sau đó E. Artin (luôn liên quan đến các vấn đề trong tôpô) đưa vào khái niệm tích tự do của các nhóm và O. Schreier định nghĩa tổng quát hơn tích tự do với các nhóm con ghép [22] (xem I, § 7, no. 3, Bài tập 20). Ở đây một lần nữa chúng ta không thể đi vào lịch sử của những phát triển sau này theo hướng này, và dẫn người đọc đến công trình [26] để biết thêm chi tiết.

Không còn chỗ để nói về thành công phi thường, kể từ cuối thế kỷ 19, của khái niệm nhóm (và của khái niệm bất biến có liên hệ mật thiết với nó) trong Giải tích, Hình học, Cơ học và Vật lý lý thuyết. Một sự xâm nhập tương tự của khái niệm này và các khái niệm đại số liên quan đến nó (các nhóm với toán tử, vành, iđêan, môđun) vào những phần của Đại số mà cho đến lúc đó dường như hoàn toàn không liên quan là dấu hiệu đặc trưng của giai đoạn tiến hóa cuối cùng mà chúng ta xem xét ở đây và kết thúc bằng sự tổng hợp của ba nhánh mà chúng ta đã theo dõi ở trên. Sự thống nhất này trên hết là công việc của trường phái Đức trong những năm 1900–1930: bắt đầu bởi Dedekind và Hilbert trong những năm cuối của thế kỷ 19, công việc tiên đề hóa Đại số được E. Steinitz tiếp tục mạnh mẽ, rồi, bắt đầu từ năm 1920, dưới sự thúc đẩy của E. Artin, E. Noether và các nhà đại số thuộc trường phái của họ (Hasse, Krull, O. Schreier, van der Waerden). Chuyên khảo của van der Waerden [25], xuất bản năm 1930, lần đầu tiên tập hợp các công trình này trong một trình bày duy nhất, mở đường và làm kim chỉ nam cho nhiều công trình nghiên cứu trong Đại số trong hơn hai mươi năm.

THƯ MỤC

1. O. Neugebauer, Vorlesungen über Geschichte der antiken Mathematik, Vol. I: Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934. 2. Euclidis Elementa, 5 vols., ed. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883–88. 2 bis. T. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements . . ., 3 vols., Cambridge, 1908.

3. Diophanti Alexandrini Opera Omnia ..., 2 tập, biên tập P. Tannery, Lipsiae (Teubner), 1893–95. 3 bis. Diophante d’Alexandrie, dịch P. Ver Eecke, Bruges (Desclée-de-Brouwer), 1926. 4. G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, biên tập C. I. Gerhardt, tập V, Halle (Schmidt), 1858. 5. C. F. Gauss, Werke, các tập I (Göttingen, 1870), II (ibid., 1863) và VIII (ibid., 1900). 6. A. L. Cauchy, Oeuvres complètes (2), tập I, Paris (Gauthier-Villars), 1905. 7. N. H. Abel, Oeuvres, 2 tập, biên tập Sylow và Lie, Christiania, 1881. 8. E. Galois, Ecrits et mémoires mathématiques, biên tập R. Bourgne và J. Y. Azra, Paris (Gauthier-Villars), 1962. 9. W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853. 9 bis. W. R. Hamilton, Memorandum respecting a new system of roots of unity, Phil. Mag. (4), 12 (1856), tr. 446. 10. A. Cayley, Collected mathematical papers, các tập I và II, Cambridge (University Press), 1889. 11. H. Hankel, Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen, phần thứ nhất: Theorie der complexen Zahlensysteme, Leipzig (Voss), 1867. 12. J. A. Serret, Cours d’Algèbre supérieure, lần xuất bản thứ 3, Paris (Gauthier-Villars), 1866. 13. R. Dedekind và H. Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen, Crelle’s J., 92 (1882), tr. 181–290. 14. R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, 3 tập, Braunschweig (Vieweg), 1932. 15. C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris (Gauthier-Villars), 1870 (tái bản, Paris (A. Blanchard), 1957). 16. C. Jordan, Mémoire sur les groups des mouvements, Ann. di Mat. (2), 2 (1868), tr. 167–215 và 322–345 (= Oeuvres, tập IV, tr. 231–302, Paris (Gauthier-Villars), 1964). 17. L. Sylow, Théorèmes sur les groups de substitutions, Math. Ann., 5 (1872), tr. 584–594. 18. W. Dyck, Gruppentheoretische Studien, Math. Ann., 20 (1882), tr. 1–44. 19. G. Frobenius, Über Gruppencharaktere, Berliner Sitzungsber., 1896, tr. 985–1021 (= Gesammelte Abhandlungen, biên tập J. P. Serre, Berlin–Heidelberg–New York (Springer), tập III (1968), tr. 1–37). 20. W. Burnside, Theory of groups of finite order, lần xuất bản thứ 2, Cambridge, 1911. 21. J. Nielsen, Die Isomorphismengruppen der freien Gruppen, Math. Ann., 91 (1924), tr. 169–209. 22. O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppe, Abh. Hamb., 5 (1927), tr. 161–185.

23. A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 3rd ed., Berlin (Springer), 1937. 24. H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, vol. I, Leipzig–Berlin (Teubner), 1937. 25. B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, 2nd ed., vol. I, Berlin (Springer), 1937; vol. II (ibid.), 1940. 26. W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, Combinatorial group theory, New York (Interscience), 1966. 27. D. Gorenstein, Finite groups, New York (Harper and Row), 1968.