Bài tập 12, § 2

Cho $I$ là một tập hợp khác rỗng. Hãy chứng minh rằng các phần tử của magma tự do $M(I)$ có thể được đồng nhất với các dãy $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ ($n$ là một số nguyên tùy ý $\geq 1$), trong đó các $a_i$ hoặc là các phần tử của I hoặc là một ký hiệu đặc biệt P (biểu thị "ngoặc mở"), sao cho các dãy này thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Độ dài $n$ của dãy bằng hai lần số ký hiệu P xuất hiện trong dãy, cộng với 1.

(iii) Với mọi $k \leq n - 1$, số ký hiệu P xuất hiện trong dãy con $(a_i)_{1 \leq i \leq k}$ là $\geq k/2$.

(Dùng Lý thuyết tập hợp, I, Phụ lục để gắn với mỗi dãy $(a_i)$ một phần tử của $M(I)$; chẳng hạn, dãy PPPxyzPxy tương ứng với từ $((xy)z)(xy)$.)