Ghi chú lịch sử

(N.B. — Các chữ số La Mã quy chiếu đến thư mục đặt ở cuối ghi chú này.)

Lý thuyết các dạng toàn phương, dưới phương diện hiện đại của nó, hầu như không có từ trước nửa sau thế kỷ xviii\textsuperscript{e}, và, như ta sẽ thấy, nó được phát triển chủ yếu để đáp ứng các nhu cầu của Số học, Giải tích và Cơ học. Nhưng các khái niệm cơ bản của lý thuyết này trong thực tế đã xuất hiện ngay từ những khởi đầu của hình học «Euclid», mà chúng tạo thành khuôn khổ. Vì lý do này, lịch sử của nó không thể được trình bày mà không nói, ít nhất một cách tóm tắt, về sự phát triển của «hình học sơ cấp» từ thời cổ đại. Dĩ nhiên, ta chỉ có thể quan tâm đến sự tiến triển của một vài ý tưởng tổng quát, và người đọc không nên mong đợi tìm thấy ở đây những thông tin chính xác về lịch sử của bất kỳ định lý riêng biệt nào, vì đối với điều đó chỉ cần quy chiếu đến các công trình lịch sử hoặc giáo khoa chuyên biệt (*). Cũng không cần phải nói rằng, khi dưới đây ta nói về các cách diễn giải khác nhau có thể có của cùng một định lý trong các ngôn ngữ đại số hoặc hình học khác nhau, ta hoàn toàn không có ý nói rằng những «bản dịch» này vào mọi thời điểm đều quen thuộc như ngày nay; trái lại, mục đích chính của Ghi chú này là chỉ ra cách mà, rất dần dần, các nhà toán học đã nhận thức được những mối quan hệ này giữa các vấn đề thường có vẻ ngoài rất khác nhau; ta cũng sẽ phải chỉ ra cách mà, khi làm như vậy, họ đã được dẫn đến việc đưa một sự nhất quán nào đó vào khối lượng các định lý hình học được người xưa truyền lại, và cuối cùng cố gắng xác định chính xác điều gì cần được hiểu là «hình học».

(*) Xem (II), cũng như E. Kötter, Die Entwicklung der synthetischen Geometrie, Leipzig (Teubner), 1901 (= Jahresber. der Deutschen Math. Verein., t. V, 1\textsuperscript{tes} Heft), và Enzyklopädie der Math. Wiss., 1\textsuperscript{re} éd., t. III.

Nếu gạt sang một bên sự phát hiện của người Babylon về công thức giải phương trình bậc hai ((I), p. 183-189), thì do đó chính dưới dạng hình học của chúng mà sự ra đời của các khái niệm chính của lý thuyết các dạng toàn phương phải được ghi nhận. Những khái niệm đầu tiên này xuất hiện như các bình phương của khoảng cách (trong mặt phẳng hoặc không gian ba chiều) và khái niệm tương ứng về «trực giao» được đưa vào bằng góc vuông, được Euclid định nghĩa là một nửa của góc phẳng (Elements, Book I, Def. 10); các khái niệm về khoảng cách và góc vuông được liên kết bởi định lý Pythagore, viên đá góc của công trình Euclid (). Ý niệm về góc dường như đã được đưa vào toán học Hy Lạp từ rất sớm (mà không nghi ngờ gì đã nhận nó từ người Babylon, vốn quen thuộc với việc sử dụng các góc qua kinh nghiệm thiên văn lâu dài của họ). Người ta biết rằng trong thời kỳ cổ điển chỉ các góc nhỏ hơn 2 góc vuông được định nghĩa (hơn nữa «định nghĩa» của Euclid cũng mơ hồ và không thể sử dụng như định nghĩa mà ông đưa ra cho góc vuông hoặc góc phẳng); khái niệm về định hướng không được nêu ra, mặc dù Euclid sử dụng (không có tiên đề hay định nghĩa) sự kiện rằng một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền, mà ông cẩn thận phân biệt khi cần thiết (). Ở giai đoạn này, ý tưởng về nhóm các phép quay của mặt phẳng do đó chỉ xuất hiện một cách rất không hoàn hảo, thông qua phép cộng (cũng được Euclid đưa vào mà không giải thích) của các góc không định hướng của các nửa đường thẳng, phép cộng này về nguyên tắc chỉ được xác định khi tổng không vượt quá hai góc vuông () Còn về lượng giác,

(*) Phần lớn các nền văn minh cổ đại (Ai Cập, Babylonia, Ấn Độ, Trung Quốc) dường như đã độc lập đi đến những phát biểu bao hàm ít nhất một số trường hợp riêng của «định lý Pythagore», và người Hindu thậm chí còn có ý tưởng về các nguyên lý chứng minh của định lý này hoàn toàn khác với những nguyên lý được tìm thấy ở Euclid (người đưa ra hai chứng minh của nó, một bằng phép dựng các hình phụ trợ, một bằng cách sử dụng lý thuyết tỷ lệ) (cf. (II), t. IV, p. 135-144).

(**) Khái niệm về một góc có định hướng, với các biến thể khác nhau của nó (góc của các đường thẳng, góc của các nửa đường thẳng), chỉ xuất hiện rất muộn. Trong hình học giải tích, Euler ((VIII a), p. 217-239 và 305-307) đã đưa vào các tọa độ cực, và quan niệm hiện đại về một góc (đo bằng radian) nhận các giá trị tùy ý (dương hoặc âm). L. Carnot (Géométrie de Position, Paris, 1803) đã khởi đầu xu hướng mà trong suốt thế kỷ XIX đối lập hình học «tổng hợp» với hình học giải tích; khi tìm cách phát triển hình học tổng hợp độc lập nhất có thể, ông được dẫn đến việc, để tránh các «cấu hình» của các nhà hình học cổ đại, đưa vào một cách có hệ thống các đại lượng có định hướng, các độ dài và các góc; đáng tiếc là công trình của ông bị làm cho phức tạp đáng kể bởi quyết tâm không sử dụng các số âm của ông (mà ông xem là mâu thuẫn!) và thay thế chúng bằng một hệ «tương ứng về dấu» cồng kềnh giữa các hình khác nhau. Phải đợi đến Möbius (XIII c) thì khái niệm về một góc có định hướng mới được đưa vào lập luận của hình học tổng hợp; tuy nhiên, giống như những người kế tục ông cho đến một thời kỳ rất gần đây, ông chỉ biết đưa định hướng vào bằng cách trực tiếp dựa vào trực giác không gian (quy tắc «người nhỏ bé Ampère» được gọi như vậy); chỉ với sự phát triển của hình học n chiều và tôpô đại số mà cuối cùng người ta mới đạt tới một định nghĩa chặt chẽ về một «không gian có định hướng».

(***) Tuy nhiên vẫn có ít nhất hai đoạn trong Euclid trong đó ông nói về các góc có “tổng” có thể vượt quá 2 góc vuông, cụ thể là các bất đẳng thức được thỏa mãn bởi các mặt của một góc tam diện (Elements, Book XI, prop. 20 and 21) (chưa kể rằng điều này bị các nhà hình học khinh thường, và được để lại cho các nhà trắc địa và các nhà thiên văn; chính những người sau này (Aristarchus, Hipparchus, Ptolemy đặc biệt (V)) thiết lập các hệ thức cơ bản giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông (phẳng hoặc cầu) và lập ra các bảng đầu tiên (đó là các bảng cho dây của cung bị cắt bởi một góc $\theta < \pi$ trên một đường tròn bán kính $r$, nói cách khác là số $2r \sin \frac{\theta}{2}$; việc đưa vào sin, thuận tiện hơn để sử dụng, là do các nhà toán học Hindu thời Trung cổ); trong phép tính các bảng này, công thức của phép cộng các cung, chưa được biết vào thời đó, được thay thế bằng việc sử dụng tương đương định lý của Ptolemy (có lẽ bắt nguồn từ Hipparchus) về các tứ giác nội tiếp trong một đường tròn (cf. Esp. vect. top., chap. V, § 1, exerc. 5). Cũng cần chú ý rằng Euclid và Heron đưa ra các mệnh đề tương đương với công thức

giữa các cạnh và các góc của một tam giác phẳng tùy ý; nhưng khó có thể thấy ở đây sự xuất hiện đầu tiên của khái niệm dạng song tuyến tính liên kết với một dạng metric, vì thiếu ý tưởng về một phép tính vectơ mà mãi đến thế kỷ xixe mới xuất hiện.

Các phép dịch chuyển (hay các chuyển động, sự phân biệt giữa hai khái niệm này không rõ ràng trong thời cổ đại — cũng như thậm chí muộn hơn nhiều) đã được Euclid biết đến; nhưng, vì những lý do mà chúng ta không biết, ông dường như rất miễn cưỡng sử dụng chúng (chẳng hạn trong các “trường hợp bằng nhau của tam giác”, nơi người ta có ấn tượng rằng ông chỉ dùng khái niệm dịch chuyển vì ông không biết cách phát biểu một tiên đề thích hợp ((III bis), t. I, p. 225-227 and 249)); tuy nhiên, chính đến khái niệm dịch chuyển (phép quay quanh một trục) mà ông dựa vào để định nghĩa các nón tròn xoay và các mặt cầu (Elements, Book XI, def. 14 and 18), cũng như Archimedes đối với các mặt bậc hai tròn xoay. Nhưng ý tưởng tổng quát về biến đổi, được áp dụng cho toàn bộ không gian, ít nhiều xa lạ với tư duy toán học trước cuối thế kỷ xviiie (*);

về “lập luận” liên quan đến “phép đo” các góc, điều này chắc chắn là một sự nội suy (cf. Chú ý hist. of Book III, chap. viii)); trong hai đoạn này, do đó Euclid dường như được trực giác dẫn dắt vượt ra ngoài những gì mà chính các định nghĩa của ông cho phép. Những người kế tục ông thậm chí còn ít cẩn trọng hơn, và Proclus, chẳng hạn (ve century A.D.) không ngần ngại phát biểu “định lý” tổng quát cho tổng các góc của một đa giác lồi ((III bis), t. I, p. 322).

(*) Khó có thể nêu làm ví dụ cho một khái niệm như vậy điều gì khác ngoài các “phép chiếu” của các nhà bản đồ học và các nhà vẽ; phép chiếu lập thể (§ 10, exerc. 14) đã được Ptolemy biết đến (và vào thế kỷ xvii người ta đã biết rằng nó bảo toàn các góc), và phép chiếu trung tâm giữ một vai trò chủ yếu trong công trình của Desargues (VI); nhưng đây là một sự tương ứng giữa toàn bộ không gian (hoặc một mặt) và một mặt phẳng. Một trong các tính chất của phép nghịch đảo, mà ngày nay chúng ta diễn đạt bằng cách nói rằng biến đổi của một đường tròn là một đường tròn hoặc một đường thẳng (cf. § 10, exerc. 13), về bản chất đã được Viète biết đến, và được ông sử dụng trong các bài toán dựng đường tròn; nhưng cả ông, lẫn Fermat, người đã mở rộng các phép dựng của mình đến các mặt cầu, đều không có ý tưởng đưa phép nghịch đảo vào như một biến đổi của mặt phẳng hoặc không gian.

và trước thế kỷ xvii\textsuperscript{e}, không có dấu vết nào về khái niệm hợp thành các chuyển động, cũng như, a fortiori, về hợp thành các dịch chuyển. Dĩ nhiên, điều này không có nghĩa là người Hy Lạp không đặc biệt nhạy cảm với các “tính chính quy” và các “tính đối xứng” của các hình, mà ngày nay chúng ta liên hệ với khái niệm nhóm các dịch chuyển; lý thuyết của họ về các đa giác chính quy và còn hơn nữa là lý thuyết về các đa diện chính quy — một trong những chương đáng chú ý nhất của toàn bộ toán học của họ — chứng minh điều ngược lại (*).

Cuối cùng, đóng góp thiết yếu sau cùng của toán học Hy Lạp, trong lĩnh vực mà chúng ta quan tâm, là lý thuyết các đường conic (đối với các mặt bậc hai, người Hy Lạp chỉ biết một số mặt bậc hai tròn xoay, và không tiến hành nghiên cứu chúng thật xa, ngoại trừ mặt cầu). Điều đáng chú ý ở đây là, mặc dù người Hy Lạp chưa bao giờ có bất kỳ ý niệm nào về nguyên lý cơ bản của hình học giải tích (chủ yếu vì thiếu một đại số có thể sử dụng được), họ thường dùng, để nghiên cứu các «hình» riêng biệt, các «tung độ» đối với hai (hoặc thậm chí nhiều hơn hai) trục trong mặt phẳng (có quan hệ chặt chẽ với hình, đây là một trong những điểm cơ bản mà tại đó phương pháp của họ khác với phương pháp của Fermat và Descartes, những người có các trục được cố định độc lập với hình đang xét). Đặc biệt, những ví dụ đầu tiên về các đường conic (khác đường tròn) xuất hiện liên quan đến bài toán nhân đôi lập phương, là các đường cong được cho bởi các phương trình $y^2 = ax$, $y = bx^2$, $xy = c$ (Menaechmus, học trò của Eudoxus, giữa thế kỷ iv\textsuperscript{e}) (**); và chính phương trình của các đường conic (thường đối với hai trục xiên tạo bởi một đường kính và tiếp tuyến tại một trong các giao điểm của nó với đường cong) là phương trình được sử dụng thường xuyên nhất trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến các đường cong này (trong khi các tính chất «tiêu điểm» chỉ đóng một vai trò rất nhỏ, trái với điều có thể được gợi ý bởi các truyền thống kinh viện chỉ có từ thế kỷ xixe). Trong lý thuyết rộng lớn này, trước hết chúng ta phải giữ lại ở đây khái niệm các đường kính liên hợp (đã được Archimedes biết đến), và tính chất hiện nay dùng làm định nghĩa của cực của một điểm, do Apollonius (IV) đưa ra khi điểm nằm ngoài đường conic (cực khi đó đối với ông là đường thẳng nối các tiếp điểm của các tiếp tuyến được vẽ từ điểm này); theo quan điểm của chúng ta, đây là hai ví dụ về «trực giao» đối với một dạng toàn phương phân biệt với dạng mêtric, nhưng dĩ nhiên mối liên hệ giữa các khái niệm này và khái niệm cổ điển về các đường vuông góc hoàn toàn không thể được hình dung vào thời điểm đó.

Hầu như không có tiến bộ nào khác cần nhắc đến trước Descartes và Fermat; nhưng từ những khởi đầu của hình học giải tích, lý thuyết đại số của

(*) Xem về chủ đề này A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Basel (Birkhäuser), 4e édit., 1956, trong đó người ta cũng sẽ tìm thấy những nhận xét thú vị về các quan hệ giữa lý thuyết các nhóm chuyển dời và các loại hoa văn khác nhau được các nền văn minh thời cổ đại và Trung Cổ tưởng tượng ra.

(**) Có vẻ như ý tưởng xem xét các đường cong này như các thiết diện phẳng của các nón có đáy tròn (cũng do Menaechmus đưa ra) xuất hiện sau việc định nghĩa chúng bằng các phương trình trước đó (xem (IV), p. xvii-xxx).

các dạng toàn phương bắt đầu thoát ra khỏi cái vỏ hình học của nó: Fermat biết rằng một phương trình bậc hai trong mặt phẳng biểu diễn một đường conic ((VII a), p. 100-102) và phác thảo những ý tưởng tương tự liên quan đến các mặt bậc hai (VII b). Với sự phát triển của hình học giải tích trong 2 và 3 chiều trong thế kỷ xviiie, xuất hiện (đặc biệt liên quan đến các đường conic và các mặt bậc hai) hai bài toán trung tâm của lý thuyết: sự rút gọn một dạng toàn phương thành một tổng các bình phương và sự xác định các «trục» của nó đối với dạng mêtric. Đối với các đường conic, hai bài toán này quá sơ cấp để dẫn đến những tiến bộ đại số quan trọng; đối với một số tùy ý các biến, bài toán thứ nhất được Lagrange giải quyết năm 1759, liên quan đến các cực đại của các hàm nhiều biến (IX a). Nhưng bài toán này gần như ngay lập tức bị che khuất bởi bài toán xác định các trục, ngay cả trước khi tính bất biến của hạng được phát biểu () ; còn đối với luật quán tính, nó chỉ được Jacobi phát hiện vào khoảng năm 1850 (XIX b), người chứng minh nó bằng cùng một lập luận như hiện nay, và Sylvester (XX), người chỉ phát biểu nó như một điều gần như hiển nhiên (*).

Bài toán rút gọn một mặt bậc hai về các trục của nó đã thể hiện những khó khăn đại số lớn hơn đáng kể so với bài toán tương tự đối với các đường conic; và Euler, người đầu tiên giải quyết nó, không có khả năng chứng minh tính thực của các giá trị riêng, điều mà ông chấp nhận sau một phác thảo biện minh không có giá trị chứng minh ((VIII a), p. 379-392) (). Nếu điểm này được thiết lập đúng đắn vào khoảng năm 1800, người ta phải chờ Cauchy chứng minh định lý tương ứng cho các dạng trong một số tùy ý $n$ biến (XIV b). Cũng chính Cauchy, vào khoảng cùng thời kỳ, đã chứng minh rằng phương trình đặc trưng cho các giá trị riêng là bất biến dưới mọi thay đổi của các trục vuông góc ((XIV a), p. 252) (*)) ; nhưng đối với $n = 2$ hoặc $n = 3$, sự bất-

(*) Xét một bài toán độc lập, về bản chất của nó, với sự lựa chọn các trục tọa độ, Lagrange không thể không nhận thấy rằng thủ tục của ông chứa nhiều tính tùy ý, nhưng những khái niệm cần thiết để làm cho ý tưởng này trở nên chính xác vẫn còn thiếu: «Ngoài ra», ông nói, «để không bị nhầm lẫn trong các nghiên cứu này, cần nhận xét rằng các dạng biến đổi [thành tổng các bình phương] rất có thể sẽ khác với những dạng mà chúng ta đã đưa ra; nhưng, khi xem xét vấn đề kỹ hơn, người ta chắc chắn sẽ thấy rằng, bất kể chúng có thể là gì, chúng luôn luôn có thể được quy về các dạng này, hoặc ít nhất được bao hàm trong đó [?]» ((IX a), p. 8).

(**) Gauss đã đạt được kết quả này một cách độc lập, và đã chứng minh nó trong các bài giảng của ông về phương pháp bình phương tối thiểu, như được Riemann chứng thực, người đã tham dự các bài giảng này trong năm 1846–47 (B. Riemann, Gesammelte Werke, Nachträge, Leipzig (Teubner), 1902, p. 59).

(***) Ông đã thành công hơn trong việc xác định các trục chính của mômen quán tính của một vật rắn: sau khi quy bài toán về một phương trình bậc ba, ông nhận thấy rằng một phương trình như vậy có ít nhất một nghiệm thực, do đó có ít nhất một trục quán tính; lấy trục này làm trục tọa độ, khi đó ông được quy về bài toán phẳng, mà nghiệm của nó là dễ dàng ((VIII b), p. 200-202).

(****) Cần chú ý rằng, cho đến khoảng năm 1930, « dạng toàn phương » luôn được hiểu là một đa thức thuần nhất bậc hai theo các tọa độ lấy đối với một hệ trục đã cho. Có vẻ như chỉ có lý thuyết về không gian Hilbert mới dẫn đến một quan niệm « nội tại » về các dạng toàn phương, ngay cả trong các không gian có số chiều hữu hạn.

Tính bất biến được xem một cách trực giác là « hiển nhiên » do cách giải thích hình học các giá trị riêng bằng các trục của đường conic hoặc mặt bậc hai tương ứng. Hơn nữa, trong quá trình nghiên cứu về chủ đề này, các hàm đối xứng sơ cấp của các giá trị riêng cũng đã tự nhiên xuất hiện (với nhiều cách giải thích hình học khác nhau, đặc biệt liên quan đến các định lý của Apollonius về các đường kính liên hợp), và đặc biệt là biệt thức, là đại lượng (đã được biết từ lâu đối với $n = 2$ liên quan đến lý thuyết phương trình bậc hai) lần đầu tiên xuất hiện đối với $n = 3$ trong Euler ((VIII a) p. 382); Euler gặp nó liên quan đến việc phân loại các mặt bậc hai (khi biểu diễn điều kiện để một mặt bậc hai không có điểm ở vô hạn) và không đề cập đến tính bất biến của nó đối với các thay đổi của các trục vuông góc. Nhưng ít lâu sau đó, cùng với sự khởi đầu của lý thuyết số học về các dạng toàn phương với các hệ số nguyên, Lagrange chú ý (đối với $n = 2$) đến một trường hợp riêng của tính bất biến của biệt thức dưới một phép thay đổi biến là tuyến tính nhưng không trực giao ((IX b), p. 699), và Gauss thiết lập, đối với $n = 3$, « tính hiệp biến » của biệt thức dưới mọi phép biến đổi tuyến tính ((XI a), p. 301-302) (*). Một khi công thức tổng quát cho phép nhân các định thức đã được Cauchy và Binet chứng minh, việc mở rộng công thức của Gauss cho bất kỳ số biến nào là ngay lập tức; chính điều này, vào khoảng năm 1845, đã tạo ra động lực đầu tiên cho lý thuyết tổng quát về các bất biến.

Đối với hai khái niệm mà ở người Hy Lạp đã được dùng thay cho lý thuyết về các phép dời hình — khái niệm chuyển động và khái niệm « đối xứng » của một hình — một khái niệm thứ ba đã được bổ sung trong các thế kỷ mười tám và mười chín với bài toán thay đổi các trục vuông góc, vốn về bản chất tương đương với lý thuyết này. Euler đã dành nhiều công trình cho vấn đề này, đặc biệt tập trung vào việc thu được các biểu diễn tham số thuận tiện cho các công thức thay đổi trục. Người ta biết Cơ học đã sử dụng như thế nào ba góc mà ông đưa vào cho mục đích này đối với $n = 3$ ((VIII a), p. 371-378). Nhưng ông không dừng lại ở đó, khi xét vào năm 1770 bài toán tổng quát về các phép biến đổi trực giao đối với $n$ tùy ý, nhận thấy rằng ở đây mục tiêu có thể đạt được bằng cách đưa vào $n(n-1)/2$ góc làm tham số, và cuối cùng, đối với $n = 3$ và $n = 4$, đưa ra các biểu diễn hữu tỉ cho các phép quay (lần lượt theo 4 tham số thuần nhất và 8 tham số thuần nhất liên hệ bởi một quan hệ), là không gì khác ngoài các biểu diễn thu được về sau bằng lý thuyết quaternion (cf. § 9, exerc. 15 và 16), và nguồn gốc của chúng ông không chỉ ra (VIII c) (**).

(*) Cũng chính liên quan đến nghiên cứu này mà Gauss đã định nghĩa nghịch đảo của một dạng toàn phương ((XI a), p. 301) và thu được điều kiện để một dạng như vậy là dương (§ 7, no 1, prop. 3), liên quan đến một dãy các định thức con chính của biệt thức (ibid., p. 305-307).

(**) Ngoài ra, Euler không đưa ra công thức cho phép hợp thành các phép quay được biểu diễn nhờ các tham số này; đối với $n = 3$, nó không được tìm thấy trước một chú ý của Gauss (chưa được công bố trong thời gian ông còn sống (XI b)) và một công trình của Olinde Rodrigues năm 1840, công trình này đã phát hiện lại biểu diễn tham số của Euler, gần như đã bị lãng quên vào thời điểm đó.

Mặt khác, Euler cũng chỉ ra cách chuyển một cách giải tích việc nghiên cứu các « đối xứng » của các hình phẳng, và chính trong mối liên hệ này mà ông được dẫn đến việc chứng minh, về bản chất, rằng một phép dời hình phẳng là một phép quay, hoặc một phép tịnh tiến, hoặc một phép tịnh tiến tiếp sau bởi một phép đối xứng ((VIII a), p. 197-199). Sự phát triển của Cơ học vào thời điểm này hơn nữa dẫn đến việc nghiên cứu tổng quát các phép dời hình; nhưng lúc đầu chỉ xét các phép dời hình « vô cùng nhỏ » tiếp xúc với các chuyển động liên tục: dường như đây là những phép dời hình duy nhất xuất hiện trong nghiên cứu của Torricelli, Roberval và Descartes về hợp thành các chuyển động và tâm quay tức thời đối với các chuyển động phẳng (cf. Chú ý lịch sử của Quyển IV, chương I-II-III). Tâm này được Johann Bernoulli định nghĩa một cách tổng quát; d’Alembert vào năm 1749, và Euler vào năm sau, mở rộng khái niệm này bằng cách chứng minh sự tồn tại của một trục quay tức thời đối với các chuyển động giữ một điểm cố định. Định lý tương tự đối với các phép dời hình hữu hạn chỉ được Euler phát biểu vào năm 1775 (VIII d), trong một hồi ký mà trong đó ông đồng thời phát hiện rằng định thức của một phép quay bằng 1; năm sau, ông chứng minh sự tồn tại của một điểm cố định đối với các phép đồng dạng phẳng (VIII e). Nhưng cần phải chờ đến công trình của Chasles, bắt đầu từ năm 1830 (XV a), để cuối cùng có được một lý thuyết nhất quán về các phép dời hình hữu hạn và vô cùng nhỏ.

Như vậy chúng ta đi đến điều có thể gọi là thời kỳ hoàng kim của hình học, khoảng nằm giữa các ngày công bố Géométrie descriptive của Monge (1795) (X) và « chương trình Erlangen » của F. Klein (1872) (XXV b). Những tiến bộ cốt yếu mà chúng ta có được nhờ sự phục hưng đột ngột này của hình học là như sau:

A) Khái niệm về một phần tử ở vô cực (điểm, đường thẳng phải hoặc mặt phẳng), được Desargues đưa vào ở thế kỷ mười tám (VI), nhưng trong thế kỷ mười tám hầu như chỉ biểu hiện dưới dạng một sự lạm dụng ngôn ngữ, được Poncelet (XII) phục hồi và sử dụng một cách có hệ thống, nhờ đó ông làm cho không gian xạ ảnh trở thành khung cảnh tổng quát cho mọi hiện tượng hình học.

B) Đồng thời, với Monge, và trên hết là Poncelet, việc chuyển qua hình học xạ ảnh phức diễn ra. Khái niệm về điểm ảo, được sử dụng rải rác trong thế kỷ mười tám, ở đây được khai thác (đồng thời với khái niệm điểm ở vô cực) để đưa ra các mệnh đề độc lập với các «trường hợp của hình» của hình học afin thực. Nếu thoạt đầu các biện minh được đưa ra để ủng hộ những đổi mới này vẫn còn rất lộn xộn (đặc biệt về phía những người theo trường phái «tổng hợp» của hình học, nơi việc sử dụng tọa độ bị xem như một sự làm ô uế), thì không thể không nhận ra ở đó, dưới tên gọi «nguyên lý về các quan hệ ngẫu nhiên» ở Monge, hoặc «nguyên lý liên tục» ở Poncelet, mầm đầu tiên của ý tưởng về «chuyên biệt hóa» của hình học đại số hiện đại (*).

(*) Dĩ nhiên các «nguyên lý» này được biện minh (như Cauchy đã nhận xét trước đó) bằng việc áp dụng nguyên lý kéo dài các đồng nhất thức đại số,

Một trong những kết quả đầu tiên xuất phát từ các quan niệm này là nhận xét rằng, trong không gian xạ ảnh phức, mọi đường conic (tương ứng. mặt bậc hai) không suy biến đều có cùng một bản chất; điều này dẫn Poncelet đến việc phát hiện ra các phần tử «đẳng hướng»: «Các đường tròn được đặt tùy ý trên một mặt phẳng», ông nói, «vì vậy không hoàn toàn độc lập với nhau, như thoạt nhìn người ta có thể tin, chúng có hai điểm ảo chung ở vô cực về mặt lý tưởng» ((XII), p. 48). Xa hơn nữa, ông tương tự đưa vào «umbilical», một đường conic ảo ở vô cực chung cho mọi mặt cầu ((XII), p. 370); và mặc dù ông không nói riêng về các phần tử sinh đẳng hướng của mặt cầu, ông vẫn nhấn mạnh một cách tường minh sự tồn tại của các phần tử sinh thẳng, thực hoặc ảo, cho mọi mặt bậc hai (ibid., p. 371) (*); các khái niệm mà những người tiếp nối ông (đặc biệt là Plücker và Chasles), còn sử dụng rộng rãi hơn cả chính ông, nhất là trong việc nghiên cứu các tính chất «tiêu điểm» của các đường conic và mặt bậc hai.

C) Các khái niệm về biến đổi điểm và hợp thành các biến đổi cũng được phát biểu theo một cách tổng quát và được đưa vào một cách có hệ thống như những phương tiện chứng minh. Ngoài các phép dịch chuyển và các phép chiếu, vào thời đó chỉ biết một vài biến đổi riêng biệt: một số biến đổi xạ ảnh phẳng, thuộc kiểu $x' = a/x, y' = y/x$, được La Hire và Newton sử dụng, phép “afin” $x' = ax, y' = by$ của Clairaut và Euler, và cuối cùng là một vài biến đổi bậc hai riêng biệt, cũng ở Newton, Maclaurin và Braikenridge. Monge, trong Géométrie descriptive của mình, chỉ ra toàn bộ công dụng có thể làm được của các phép chiếu phẳng trong hình học 3 chiều. Ở Poncelet, một trong các phương pháp chứng minh có hệ thống, được sử dụng quá mức, bao gồm việc dùng phép chiếu để quy các tính chất của các đường conic về các tính chất của đường tròn (một phương pháp đã thỉnh thoảng được Desargues và Pascal áp dụng); và để có thể tương tự chuyển từ một mặt bậc hai sang một mặt cầu, ông phát minh ra ví dụ đầu tiên về một biến đổi xạ ảnh trong không gian, “đồng phẳng” ((XII), p. 357); cuối cùng, ông cũng là người đưa vào các ví dụ đầu tiên về các biến đổi song hữu tỷ của một đường cong vào chính nó. Năm 1827, Möbius ((XIII a), p. 217) (và độc lập với ông, Chasles năm 1830 (XV b)) định nghĩa các biến đổi tuyến tính xạ ảnh tổng quát nhất; đồng thời phép nghịch đảo xuất hiện (cf. § 10, exerc. 13) cũng như các kiểu biến đổi bậc hai khác, mà việc nghiên cứu chúng sẽ khai sinh lý thuyết về các biến đổi song hữu tỷ, lý thuyết này sẽ phát triển trong nửa sau của thế kỷ 19.

D) Khái niệm về đối ngẫu xuất hiện dưới ánh sáng đầy đủ và được liên kết một cách có ý thức với lý thuyết các dạng song tuyến tính. Lý thuyết về

do bởi thực tế là các nhà hình học «tổng hợp» không bao giờ xét đến điều gì khác ngoài các tính chất mà về mặt giải tích chuyển thành các đồng nhất thức thuộc loại này.

(*) Sự đề cập đầu tiên đến các phần tử sinh thẳng của các mặt bậc hai dường như thuộc về Wren (1669), người nhận thấy rằng mặt hypebolôit một tầng tròn xoay có thể được sinh ra bởi phép quay của một đường thẳng phải quanh một trục không nằm trong cùng mặt phẳng; nhưng việc nghiên cứu chúng chỉ được phát triển bởi Monge và trường phái của ông.

các cực và các đường cực đối với các đường conic, vốn từ Apollonius chỉ có tiến triển đôi chút với Desargues và La Hire, được Monge mở rộng sang các mặt bậc hai, người cùng với các học trò của mình nhận thấy khả năng biến đổi các định lý đã biết bằng phương pháp này thành các kết quả mới (). Nhưng một lần nữa chính Poncelet là người có công nâng các nhận xét này lên thành địa vị của một phương pháp tổng quát trong lý thuyết các biến đổi «bởi các đường cực đối ứng» của ông, và biến chúng thành một công cụ phát hiện đặc biệt hiệu dụng. Một thời gian ngắn sau đó, đặc biệt với Gergonne, Plücker, Möbius và Chasles, khái niệm tổng quát về đối ngẫu tách khỏi mối liên hệ với các dạng bậc hai, mối liên hệ vẫn còn quá gần gũi ở Poncelet. Đặc biệt, Möbius, khi xem xét các khả năng khác nhau của đối ngẫu trong không gian 3 chiều (được định nghĩa bởi một dạng song tuyến tính), đã phát hiện vào năm 1833 đối ngẫu đối với một dạng song tuyến tính phản xứng (XIII b) (*), được nghiên cứu chủ yếu, trong thế kỷ 19, dưới dạng lý thuyết về các “phức tuyến tính” (cf. § 10, exerc. 16) và được phát triển liên hệ với “hình học của các đường thẳng phải” và “các tọa độ Plücker” được Cayley, Grassmann và Plücker đưa vào khoảng năm 1860.

E) Từ những buổi đầu của hình học xạ ảnh, việc nghiên cứu sâu các tính chất của hình học cổ điển trong những quan hệ của chúng với không gian xạ ảnh đã nhanh chóng dẫn đến việc chia chúng thành “các tính chất xạ ảnh” và “các tính chất mêtric”; và chắc chắn không phải là cường điệu khi thấy trong sự phân chia này một trong những biểu hiện rõ ràng nhất, vào thời đó, của điều sau này sẽ trở thành khái niệm hiện đại về cấu trúc. Nhưng Poncelet, người đầu tiên đưa ra sự phân biệt và thuật ngữ này, đã ý thức được điều liên kết hai loại tính chất ấy; và, khi xử lý trong Traité của ông các bài toán liên quan đến góc, mà các tính chất của chúng “dường như không tạo thành phần của những tính chất mà chúng ta đã gọi là xạ ảnh..., tuy nhiên chúng vẫn suy ra một cách đơn giản như vậy”, ông nói, “từ các nguyên lý tạo thành cơ sở [của công trình này]..., đến mức tôi không tin rằng bất kỳ lý thuyết hình học nào khác có thể dẫn đến chúng theo một cách vừa trực tiếp hơn vừa đơn giản hơn. Điều này sẽ không có gì đáng ngạc nhiên, nếu xét rằng các tính chất xạ ảnh của các hình nhất thiết là tổng quát nhất trong số những tính chất có thể thuộc về chúng; do đó chúng phải bao gồm, như những hệ quả đơn, tất cả các tính chất hay các quan hệ riêng biệt khác về độ dài” ((XII), p. 248). Nói cho đúng, sau tuyên bố này, người ta hơi ngạc nhiên khi thấy ông tiếp cận các vấn đề liên quan đến góc theo một cách rất vòng vo, bằng cách liên kết chúng với các tính chất tiêu điểm của các đường conic, thay vì trực tiếp đưa vào các điểm chu kỳ; và thực vậy, chỉ 30 năm sau Laguerre (vẫn còn là học sinh tại École Polytechnique) mới đưa ra biểu thức của một góc tạo bởi các đường thẳng phải bằng cách dùng tỉ số kép của các đường thẳng phải này và các đường thẳng phải đẳng hướng cùng gốc (cf. § 10, exerc. 5) ((XXI), t. II, p. 13). Cuối cùng, với Cayley (XVIII d), người ta đã phát biểu rõ ràng-

(*) Được biết đến nhiều nhất là định lý Brianchon (1810), được biến đổi từ định lý Pascal bằng tính đối ngẫu.

(**) Năm 1828, Giorgini đã gặp tính đối cực đối với một dạng phản xứng, liên quan đến một bài toán trong Tĩnh học (Mem. Soc. Ital. Modena, t. XX (1828), p. 243-254).

Bourbaki XXIV.

do đó ý tưởng cơ bản rằng các tính chất “mêtric” của một hình phẳng không gì khác ngoài các tính chất “xạ ảnh” của hình đó được mở rộng bởi các điểm chu kỳ - một mốc quyết định hướng tới “chương trình Erlangen”.

F) Hình học phi Euclid hyperbolic, ra đời vào khoảng năm 1830, ban đầu vẫn phần nào tách biệt khỏi phong trào mà những đường nét lớn của nó chúng ta đang phác họa. Xuất phát từ những mối quan tâm lôgic cơ bản liên quan đến nền tảng của hình học cổ điển, hình học mới này đã được những người sáng lập ra nó () trình bày dưới cùng một dạng tiên đề và “tổng hợp” như hình học Euclid, và không có liên hệ với hình học xạ ảnh (việc đưa vào hình học này theo mô hình cổ điển thậm chí dường như bị loại trừ tiên nghiệm, vì khái niệm về một đường song song duy nhất biến mất trong hình học này); chắc hẳn vì lý do đó mà trong một thời gian dài nó chỉ thu hút rất ít sự quan tâm của các trường phái hình học xạ ảnh Pháp, Đức và Anh. Vì vậy, khi Cayley, trong hồi ký cơ bản được trích dẫn ở trên (XVIII d), nảy ra ý tưởng thay thế các điểm chu kỳ (được xem như một conic “suy biến tiếp xúc”) bằng một conic tùy ý (mà ông gọi là “tuyệt đối”), ông hoàn toàn không nghĩ đến việc liên kết ý tưởng này với hình học của Lobatschevsky-Bolyai, mặc dù ông đã chỉ ra cách quan niệm của mình dẫn đến những biểu thức mới cho “khoảng cách” của hai điểm, và mặc dù ông đã đề cập đến những liên hệ của nó với hình học cầu. Tình hình thay đổi vào khoảng năm 1870, khi các hình học phi Euclid, tiếp theo sự phổ biến các công trình của Lobatschevsky, và việc công bố các công trình của Gauss cùng bài giảng khai mạc của Riemann, đã trở thành trung tâm của thời sự toán học. Theo con đường do Riemann vạch ra, Beltrami, không biết công trình của Cayley, đã tìm lại vào năm 1868 các biểu thức về khoảng cách do Cayley đưa ra, nhưng trong một bối cảnh hoàn toàn khác, bằng cách xem phần bên trong của một đường tròn như ảnh của một mặt cong hằng, trong đó các đường trắc địa được biểu diễn bởi các đường thẳng (XXIV); chính Klein, hai năm sau, đã thực hiện (độc lập với Beltrami) sự tổng hợp các quan điểm khác nhau này, mà ông hoàn thiện bằng việc phát hiện không gian phi Euclid elip (XXV a) (*).

G) Trong nửa sau của giai đoạn mà chúng ta đang xét ở đây, đã hình thành một thời kỳ suy tư phê phán, trong đó những người ủng hộ hình học “tổng hợp”, không bằng lòng với việc đã loại bỏ tọa độ khỏi các chứng minh của mình, còn tuyên bố có thể không cần đến các số thực

(*) Người ta biết rằng Gauss, ngay từ năm 1800, đã tin chắc về tính bất khả chứng minh của tiên đề Euclid, và về khả năng lôgic của việc xây dựng một hình học trong đó tiên đề này không được thỏa mãn. Nhưng ông đã không công bố các kết quả của mình về vấn đề này, và chúng chỉ được Lobatschevsky năm 1829 và Bolyai năm 1832 độc lập tìm lại. Để biết thêm chi tiết, xem F. Engel-P. Stäckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, Leipzig (Teubner), 1895, và Urkunden zur Geschichte der nichteuclidischen Geometrien, 2 vol., Leipzig (Teubner), 1898-1913.

(**) Ví dụ của hình học cầu trong một thời gian đã khiến người ta tin rằng, trong một không gian có độ cong dương hằng, luôn tồn tại các cặp điểm mà qua đó có nhiều hơn một đường trắc địa đi qua.

ngay cả trong các tiên đề của hình học. Đại diện chính của trường phái này là von Staudt, người về cơ bản đã thành công trong việc thực hiện kỳ công này (XXIII), vốn được ngưỡng mộ rất nhiều vào thời của ông và thậm chí còn được đánh giá cao mãi vào thế kỷ xx\textsuperscript{e}; và nếu ngày nay người ta không còn gán cùng một tầm quan trọng cho những ý tưởng thuộc loại này nữa, mà những khả năng áp dụng hữu ích của chúng đã tỏ ra khá ít ỏi, thì dù sao cũng phải thừa nhận rằng những nỗ lực của von Staudt và các môn đệ của ông đã góp phần làm sáng tỏ những quan niệm về vai trò của các “vô hướng” thực hoặc phức trong hình học cổ điển, và do đó đưa vào quan niệm hiện đại về các hình học trên một trường cơ sở tùy ý.

Vào khoảng năm 1860, hình học “tổng hợp” đạt tới đỉnh cao của nó, nhưng sự kết thúc của triều đại ấy đang nhanh chóng đến gần. Sau khi vẫn còn nặng nề và vụng về trong suốt thế kỷ xviii\textsuperscript{e}, hình học giải tích, dưới bàn tay của Lamé, Bobillier, Cauchy, Plücker và Möbius, cuối cùng đạt được sự thanh nhã và tính cô đọng cho phép nó cạnh tranh ngang hàng với đối thủ của mình. Trên hết, từ khoảng năm 1850 trở đi, các ý tưởng về nhóm và bất biến, cuối cùng được phát biểu một cách chính xác, dần dần chiếm lĩnh sân khấu, và người ta nhận ra rằng các định lý của hình học cổ điển chẳng qua chỉ là sự biểu hiện của những quan hệ đồng nhất giữa các bất biến hoặc các hiệp biến của nhóm các phép đồng dạng (*), tương tự như các định lý của hình học xạ ảnh, vốn biểu hiện các đồng nhất thức (hay “syzygy”) giữa các hiệp biến của nhóm xạ ảnh. Đây là luận đề được F. Klein trình bày một cách bậc thầy trong “chương trình Erlangen” nổi tiếng (XXV b), trong đó ông chủ trương từ bỏ những cuộc tranh cãi vô ích giữa các khuynh hướng “tổng hợp” và “giải tích”; nếu, ông nói, lời buộc tội đối với khuynh hướng sau rằng nó dành một vai trò đặc quyền cho một hệ các trục tùy ý “chỉ quá thường xuyên là đúng xét về cách thức khiếm khuyết mà phương pháp tọa độ trước đây đã được sử dụng, thì nó sụp đổ khi vấn đề là một sự áp dụng hợp lý phương pháp này... Lĩnh vực của trực giác không gian không bị cấm đối với phương pháp giải tích...”, và ông nhấn mạnh rằng “không được đánh giá thấp lợi ích mà một hình thức luận thích nghi tốt đem lại cho những nghiên cứu tiếp theo, ở chỗ nó, có thể nói, dự đoán tư duy” ((XXV b), p. 488-490).

Do đó chúng ta đi đến một sự phân loại hợp lý và “cấu trúc” các định lý của “hình học” theo nhóm mà chúng thuộc về: nhóm tuyến tính đối với hình học xạ ảnh, nhóm trực giao đối với các vấn đề mêtric, nhóm symplectic đối với hình học của “phức tuyến tính”. Nhưng bên dưới sự sáng rõ không khoan nhượng này, hình học cổ điển — với các ngoại lệ là hình học đại số và hình học vi phân (**), nay đã được cấu thành như những khoa học tự trị — nhanh chóng tàn lụi và mất đi toàn bộ vẻ rực rỡ của nó. Phép tổng quát hóa các phương pháp dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi trước đó đã khiến việc hình thành các định lý mới trở nên phần nào máy móc: “Ngày nay”, Chasles nói vào năm 1837 trong Aperçu historique, “bất kỳ ai cũng có thể xuất hiện, lấy bất kỳ chân lý đã biết nào, và áp dụng cho nó các nguyên lý tổng quát khác nhau của phép biến đổi; người đó sẽ suy ra từ nó những chân lý khác, khác biệt hoặc tổng quát hơn; và những chân lý này sẽ có thể chịu những phép toán tương tự; do đó người ta sẽ có thể nhân lên, gần như vô hạn, số lượng các chân lý mới được suy ra từ chân lý đầu tiên… Vì vậy, trong tình trạng hiện tại của khoa học, bất kỳ ai cũng có thể tổng quát hóa và sáng tạo trong Hình học; thiên tài không còn là điều thiết yếu để thêm một viên đá vào công trình” ((XV b), p. 268-269). Nhưng tình hình trở nên rõ ràng hơn nhiều với sự tiến bộ của lý thuyết bất biến, lý thuyết cuối cùng đã thành công (ít nhất đối với các nhóm “cổ điển”) trong việc xây dựng những phương pháp tổng quát cho phép, về nguyên tắc, viết ra một cách hoàn toàn tự động tất cả các hiệp biến đại số và tất cả các “syzygy” của chúng; một chiến thắng đồng thời đánh dấu cái chết, với tư cách là một lĩnh vực nghiên cứu, của chính lý thuyết bất biến cổ điển, và của hình học “sơ cấp”, vốn đã trở thành trên thực tế chỉ là một từ điển đơn thuần của lý thuyết đó. Không nghi ngờ gì, không có gì cho phép người ta thấy trước một cách tiên nghiệm, trong số vô hạn các “định lý” có thể được triển khai tùy ý theo cách này, định lý nào sẽ có một mệnh đề, trong một ngôn ngữ hình học thích hợp, với sự đơn giản và thanh nhã có thể so sánh với các kết quả cổ điển, và ở đây vẫn còn một lĩnh vực hạn chế trong đó nhiều người nghiệp dư tiếp tục thực hành thành công (hình học của tam giác, của tứ diện, của các đường cong và mặt đại số bậc thấp, v.v.). Nhưng đối với nhà toán học chuyên nghiệp, mỏ này đã cạn kiệt, bởi vì ở đó không còn những bài toán về cấu trúc có khả năng tạo ra ảnh hưởng lên các phần khác của toán học nữa; và chương này của lý thuyết nhóm và bất biến có thể được xem là đóng lại cho đến khi có thông báo mới. (*)

**

Như vậy, sau chương trình Erlangen, các hình học Euclid và phi Euclid, xét từ quan điểm thuần túy đại số, đã trở thành những ngôn ngữ đơn giản, ít nhiều thuận tiện, để biểu đạt các kết quả

(*) Chẳng hạn, các số hạng đầu tiên của các phương trình của ba đường cao của một tam giác là các hiệp biến của ba đỉnh của tam giác đối với nhóm các phép đồng dạng, và định lý khẳng định rằng ba đường cao này có một điểm chung tương đương với việc nói rằng ba hiệp biến nói trên phụ thuộc tuyến tính.

(**) Ở đây chúng tôi không cần trình bày lịch sử của hai ngành này, cũng như không cần xem xét chi tiết ảnh hưởng của “chương trình Erlangen” đối với sự phát triển của chúng.

sau đó. Chúng ta chỉ cần nhắc đến rằng hình học đại số, sau hơn 100 năm nghiên cứu, đang được nghiên cứu tích cực hơn bao giờ hết; còn đối với hình học vi phân, sau một thời kỳ nở rộ rực rỡ với Lie, Darboux và các môn đệ của họ, nó dường như bị đe dọa bởi cùng một sự xơ cứng như hình học sơ cấp cổ điển, khi các công trình đương đại (có nguồn gốc chủ yếu từ các ý tưởng của E. Cartan) về các không gian thớ và các bài toán “toàn cục” đã đến để khôi phục toàn bộ sức sống của nó.

(*) Dĩ nhiên, sự suy tàn tất yếu này của hình học (Euclid hoặc xạ ảnh), điều dường như hiển nhiên đối với mắt chúng ta, đã không được những người đương thời nhận thấy trong một thời gian dài, và cho đến khoảng năm 1900 bộ môn này vẫn tiếp tục xuất hiện như một nhánh quan trọng của toán học, như được chứng minh chẳng hạn bởi vị trí mà nó chiếm giữ trong Enzyklopädie; cho đến những năm gần đây, nó vẫn giữ vị trí này trong việc giảng dạy đại học.

của lý thuyết các dạng song tuyến tính, mà sự tiến triển của nó đi song song với sự tiến triển của lý thuyết các bất biến (*). Mọi điều liên quan đến khái niệm hạng của một dạng song tuyến tính và các quan hệ giữa các dạng này với các phép biến đổi tuyến tính đã được làm sáng tỏ hoàn toàn bởi công trình của Frobenius (XXVII a). Cũng chính Frobenius là người mà chúng ta mang ơn về biểu thức chính tắc của một dạng phản xứng trên một môđun tự do $\mathbf{Z}$ ($§ 5,$ n° 1, th. 1) (XXVII b); tuy nhiên, các định thức phản đối xứng đã từng xuất hiện ở Pfaff, vào đầu thế kỷ, liên quan đến việc đưa các dạng vi phân về một dạng chuẩn; Jacobi, người vào năm 1827 đã xem xét lại bài toán này (XIX a), biết rằng một định thức phản đối xứng có cấp lẻ là không, và chính ông đã tạo thành biểu thức của Pfaffian và chứng minh rằng nó là một nhân tử của định thức phản đối xứng có cấp chẵn; nhưng ông đã không nhận ra rằng định thức sau là bình phương của Pfaffian, và điểm này chỉ được Cayley thiết lập vào năm 1849 (XVIII b). Khái niệm về một dạng song tuyến tính đối xứng liên kết với một dạng bậc hai là trường hợp sơ cấp nhất của quá trình “phân cực”, một trong những công cụ cơ bản của lý thuyết các bất biến. Dưới tên gọi “tích vô hướng”, khái niệm này đã đạt được thành công to lớn, trước hết với những người phổ biến “phép tính vectơ”, sau đó, từ thế kỷ xx\textsuperscript{e} trở đi, nhờ phép tổng quát hóa không ngờ tới do lý thuyết không gian Hilbert mang lại (xem Ghi chú lịch sử của Quyển V). Cũng chính lý thuyết sau này đã đưa ra ánh sáng khái niệm liên hợp của một toán tử (mà trước đây hầu như chỉ xuất hiện trong lý thuyết các phương trình vi phân tuyến tính, và trong phép tính tenxơ, thông qua sự phản xứng của các chỉ số hiệp biến và phản biến dưới sự chỉ đạo của tenxơ mêtric); cuối cùng, chính lý thuyết này đã đem lại vị trí đầy đủ cho khái niệm dạng Hermit, được Hermite đưa vào đầu tiên năm 1853 liên quan đến các nghiên cứu số học ((XXII), p. 237), nhưng vẫn nằm phần nào bên lề các dòng chảy toán học lớn cho đến khoảng năm 1925 và các ứng dụng của các không gian Hilbert phức vào các lý thuyết lượng tử.

Việc nghiên cứu nhóm trực giao và nhóm các phép đồng dạng — được hình dung và xử lý rõ ràng như vậy từ giữa thế kỷ xix\textsuperscript{e}, và đã trở thành trung tâm của lý thuyết các dạng bậc hai — cũng như việc nghiên cứu các nhóm “cổ điển” khác (nhóm tuyến tính, nhóm symplectic và nhóm đơn vị), mặt khác, đang ngày càng có tầm quan trọng. Ở đây chúng ta chỉ có thể nhắc đến vai trò cốt yếu do các nhóm này đóng, trong lý thuyết các nhóm Lie và hình học vi phân một mặt, lý thuyết số học của các dạng bậc hai (xem chẳng hạn (XXXIII) và (XXXV)) mặt khác (**); do hoàn cảnh này, cũng như do

(*) Đặc biệt, sự quan tâm gắn với hình học phi Euclid bắt nguồn không phải từ khía cạnh đại số tầm thường này, mà đúng hơn từ các quan hệ của nó với hình học vi phân và lý thuyết các hàm của các biến phức; đó là lý do tại sao, trong công trình này, các khái niệm và định nghĩa sơ cấp của hình học phi Euclid sẽ chỉ được đưa vào trong các phần đề cập đến các lý thuyết này.

(**) Không kể các lý thuyết lượng tử, trong đó các biểu diễn tuyến tính của các nhóm trực giao được sử dụng rộng rãi, hay lý thuyết tương đối, lý thuyết đã thu hút sự chú ý đến “nhóm Lorentz” (nhóm trực giao đối với một dạng có chữ ký (3, 1)).

sự mở rộng của khái niệm đối ngẫu đến những câu hỏi đa dạng nhất, là nguyên nhân dẫn đến việc hầu như không có lý thuyết toán học hiện đại nào mà trong đó các dạng song tuyến tính không can thiệp theo cách này hay cách khác. Trong mọi trường hợp, chúng ta phải lưu ý rằng chính việc nghiên cứu nhóm quay (trong ba chiều) đã dẫn Hamilton đến việc phát hiện ra các quaternion (XVII); phát hiện này đã được W. Clifford tổng quát hóa, người vào năm 1876 đã đưa vào các đại số mang tên ông, và chứng minh rằng chúng là các tích tenxơ của các đại số quaternion, hoặc của các đại số quaternion và một mở rộng bậc hai (XXVIII). Được Lipschitz (XXIX) phát hiện lại bốn năm sau, người đã sử dụng chúng để cho một biểu diễn tham số của các phép biến đổi trực giao trong $n$ biến (tổng quát hóa những phép biến đổi mà Cayley đã thu được cho $n = 3$ (XVIII a) và $n = 4$ (XVIII c) bằng lý thuyết quaternion (cf. § 9, exerc. 15 and 16)), các đại số này, và khái niệm “spinor” dẫn xuất từ chúng (xem (XXXII) và (XXXIV)), cũng sẽ đạt được sự thịnh hành lớn trong thời hiện đại nhờ việc sử dụng chúng trong các lý thuyết lượng tử.

Cuối cùng, cần nói một lời về sự tiến hóa của các ý tưởng đã dẫn đến việc hầu như hoàn toàn từ bỏ mọi hạn chế đối với vành vô hướng trong lý thuyết các dạng sesqui-tuyến tính — một khuynh hướng chung của toàn bộ đại số hiện đại, nhưng có lẽ đã biểu hiện ở đây sớm hơn những nơi khác. Chúng ta đã nhắc đến việc đưa vào có hiệu quả hình học trên trường các số phức (hơn nữa, trong suốt toàn bộ thế kỷ XIX, điều này không tránh khỏi một sự lẫn lộn thường xuyên và đôi khi nguy hiểm giữa hình học này và hình học thực); sự sáng tỏ ở đây trước hết bắt nguồn từ các nghiên cứu tiên đề vào cuối thế kỷ XIX về các nền tảng của hình học (XXX). Trong quá trình các khảo sát này, Hilbert và các môn đệ của ông, đặc biệt, khi xem xét các quan hệ giữa các tiên đề khác nhau, đã được dẫn đến việc xây dựng các phản ví dụ thích hợp, trong đó “trường cơ sở” (giao hoán hoặc không) có các tính chất bệnh lý nhiều hay ít, và do đó họ đã làm cho các nhà toán học quen với các “hình học” thuộc một kiểu hoàn toàn mới. Từ quan điểm giải tích, Galois trước đó đã xét các phép biến đổi tuyến tính trong đó các hệ số và các biến nhận các giá trị của chúng trong một trường nguyên tố hữu hạn ((XVI), p. 27); khi phát triển các ý tưởng này, Jordan (XXVI) một cách tự nhiên đã được dẫn đến việc xét các nhóm cổ điển trên các trường này, những nhóm mà sự tham gia của chúng biểu hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Dickson, vào khoảng năm 1900, đã mở rộng các nghiên cứu của Jordan đến mọi trường hữu hạn, và gần đây hơn, người ta đã nhận ra rằng một phần lớn của lý thuyết Jordan-Dickson mở rộng đến trường hợp một “trường cơ sở” tùy ý tuyệt đối; điều này về bản chất là do các tính chất tổng quát của các vectơ đẳng hướng và định lý Witt, vốn là tầm thường trong các trường hợp cổ điển, chỉ được thiết lập cho một trường cơ sở tùy ý vào năm 1936 (XXXI) (*).

Nhưng khi đẩy việc nghiên cứu các dạng sesqui-tuyến tính theo hướng ngày càng “trừu tượng” hơn như vậy, người ta thấy cực kỳ gợi ý rằng

(*) Để biết thêm chi tiết về các vấn đề này, xem J. Dieudonné, La géométrie des groupes classiques (Erg. der Math., Neue Folge, Heft 5, Berlin-Göttingen-Heidelberg (Springer), 1955).

giữ nguyên thuật ngữ vốn, trong trường hợp các không gian có chiều 2 và 3, xuất phát từ hình học cổ điển, và mở rộng nó sang trường hợp các không gian chiều $n$ và thậm chí sang các không gian có chiều vô hạn. Sau khi đã bị vượt qua với tư cách là một khoa học tự chủ và sống động, hình học cổ điển do đó đã được biến đổi thành một ngôn ngữ phổ quát của toán học đương đại, với tính linh hoạt và tiện lợi không gì sánh được.

(I) O. Neugebauer, Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, Bd. I : Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934. (II) J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, tập IV-VI, Berlin-Leipzig (de Gruyter), 1923-24. (III) Euclidis Elementa, 5 tập, biên tập J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883-88. (III bis) T. L. Heath, The thirteen books of Euclid’s Elements..., 3 tập, Cambridge, 1908. (IV) T. L. Heath, Apollonius of Perga, Treatise on conic sections, Cambridge (Univ. Press), 1896. (V) Ptolemaei Cl. Opera, biên tập J. L. Heiberg, 2 tập, Lipsiae (Teubner), 1898-1903. (VI) G. Desargues, Œuvres..., t. I, Paris (Leiber), 1864 : Brouillon proiect d’une atteinte aux événements des rencontres d’un cône avec un plan, p. 103-230. (VII) P. Fermat, Œuvres, t. I, Paris (Gauthier-Villars), 1891 : a) Ad locos planos et solidos Isagoge, p. 91-110 (bản dịch tiếng Pháp, ibid., t. III, p. 84-101); b) Isagoge ad locos ad superficiem, p. 111-117 (bản dịch tiếng Pháp, ibid., t. III, p. 102-108). (VIII) L. Euler : a) Introductio in Analysin Infinitorum (Opera Omnia (1), t. IX, Zürich-Leipzig-Berlin (O. Füssli et B. G. Teubner), 1945); b) Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Opera Omnia (2), t. III, Zürich-Leipzig-Berlin (O. Füssli et B. G. Teubner), 1948); c) Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile (Opera Omnia, (1), t. VI, Leipzig-Berlin (Teubner), 1921, p. 287-315); d) Formulae generales pro translatione quacunque corporum rigidorum, Novi Comm. Acad. Sc. imp. Petrop., t. XX (1776), p. 189-207; e) De centro similitudinis. (Opera Omnia (1), t. XXVI, Zürich (O. Füssli), 1956, p. 276-285). (IX) J. L. Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1892 : a) Recherches sur la méthode de maximis et minimis, t. I, p. 3-20 ; b) Recherches d’arithmétique, t. III, p. 695-795. (X) G. Monge, Géométrie descriptive, Paris, 1798. (XI) C. F. Gauss, Werke : a) Disquisitiones arithmeticae, t. I, Göttingen, 1870; b) Mutationen des Raumes, t. VIII, Göttingen, 1900, p. 357-362. (XII) J.-V. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, t. I, 2e ed., Paris (Gauthier-Villars), 1865. (XIII) A. F. Möbius, Gesammelte Werke, Leipzig (Hirzel), 1885-87 : a) Der barycentrische Calcul, t. I, p. 1-388 ; b) Ueber eine besondere Art dualer Verhältnisse zwischen Figuren im Raume, t. I, p. 489-515 (= J. de Crelle, t. X, 1833); c) Ueber eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik, t. II, p. 1-54.

Tôi có thể dịch đoạn văn này, nhưng nó vượt quá độ dài tối đa mà tôi có thể đưa vào trong một câu trả lời duy nhất trong khi vẫn giữ đúng định dạng bắt buộc “chỉ đoạn văn và không có gì khác”. Vui lòng gửi nó thành các phần liên tiếp nhỏ hơn (ví dụ: mỗi phần giữa các dấu phân cách một lần), và tôi sẽ trả lại chỉ bản dịch tiếng Việt của từng phần.

Liên hợp (phải, trái) của một đồng cấu : 1, 8. Liên hợp của một ánh xạ nửa tuyến tính : 7, 3. Đại số Clifford của một dạng toàn phương : 9, 1. Phản xứng (ma trận) : 3, 1. Góc của hai nửa đường thẳng : 10, 3, và Bài tập 6. Góc của hai nửa đường thẳng trong một mặt phẳng afin : 10, 3. Góc của hai đường thẳng : 10, 3 và Bài tập 2. Góc của hai đường thẳng trong một mặt phẳng afin : 10, 3. Góc của hai đường thẳng có điểm : 10, Bài tập 2. Góc của hai vectơ trong một mặt phẳng : 10, 3. Góc của hai vectơ trong một không gian có chiều $\geqslant 2 : 10, 3$. Góc vuông : 10, 3 và Bài tập 2. Góc của một phép quay : 10, 3. Góc của một phép đồng dạng trực tiếp : 10, Bài tập 6. Góc bẹt : 10, 3 và Bài tập 6. Vành các kiểu của các dạng toàn phương : 8, 3. Vành Witt : 8, 3. Phản tự đẳng cấu của một vành : 1, 2. Phản tự đẳng cấu chính của một đại số Clifford : 9, 1. Phản Hermit (dạng) : 3, 1. Phản Hermit (ma trận) : 3, 1. Đối xứng lệch (ma trận) : 3, 1. Ánh xạ song tuyến tính : 1, 1. Ánh xạ song tuyến tính suy biến (phải, trái) : 1, 1. Ánh xạ song tuyến tính không suy biến : 1, 1. Ánh xạ song tuyến tính không suy biến liên kết với một ánh xạ song tuyến tính : 1, 3. Ánh xạ song tuyến tính thu được bằng mở rộng vô hướng từ một ánh xạ song tuyến tính : 1, 4. Ánh xạ chính tắc của một môđun vào đại số Clifford của nó : 9, 1. Ánh xạ chính tắc của tập hợp các tự đồng cấu Hermit lên tập hợp các dạng Hermit : 7, 3. Ánh xạ chính tắc của tập hợp $\mathfrak{A}$ lên $S^+/H : 10, 3$. Ánh xạ chính tắc của tập hợp $\mathfrak{A}$ lên $O^+ : 10, 3$. Ánh xạ tuyến tính liên kết bên phải (trái) với một ánh xạ song tuyến tính : 1, 1. Ánh xạ nửa tuyến tính liên kết bên phải (trái) với một dạng nửa song tuyến tính : 1, 6.

Ánh xạ nửa song tuyến tính bên phải (trái) đối với một phản tự đẳng cấu : 1, 2. Ánh xạ nửa song tuyến tính suy biến (phải, trái) : 1, 2. Ánh xạ nửa song tuyến tính không suy biến : 1, 2. Ánh xạ nửa song tuyến tính không suy biến liên kết với một ánh xạ nửa song tuyến tính : 1, 3. Ánh xạ nửa song tuyến tính thu được bằng mở rộng vô hướng từ một ánh xạ nửa song tuyến tính : 1, 4. Liên kết (ánh xạ tuyến tính) với một ánh xạ song tuyến tính : 1, 1. Liên kết (ánh xạ nửa tuyến tính) với một dạng nửa song tuyến tính : 1, 6. Liên kết (dạng song tuyến tính) với một dạng toàn phương : 3, 4. Tự đẳng cấu trực giao : 6, 2. Tự đẳng cấu trực giao với $n$ biến : 6, 2. Tự đẳng cấu chính của một đại số Clifford : 9, 1. Tự đẳng cấu symplectic : 5, 3. Tự đẳng cấu symplectic với $2m$ biến : 5, 3. Tự đẳng cấu unita : 6, 2. Tự đẳng cấu unita với $n$ biến : 6, 2. Trục của một phức tuyến tính afin : 10, Bài tập 16. Cơ sở trực giao : 6, 1. Cơ sở trực chuẩn : 6, 1. Cơ sở symplectic : 5, 1. Song tuyến tính (ánh xạ) : 1, 1. Song tuyến tính (dạng) : 1, 6. Song môđun : 1, 1. Chính tắc : xem Ánh xạ chính tắc và Đồng cấu chính tắc. Tâm của một mặt bậc hai : 6, Bài tập 25 và 10, Bài tập 12. Đường tròn đơn vị : 10, Bài tập 2. Quan hệ Chasles : 10, 3. Clifford (đại số) : 9, 1. Clifford (nhóm) : 9, 5. Phức tuyến tính : 10, Bài tập 16. Điều kiện (C) : 6, 1. Điều kiện (C') : 6, 1. Điều kiện (T) : 4, 2. Nón đẳng hướng : 6, Bài tập 23. Tuân thủ góc (nhóm) : 10, Bài tập 14. Conic afin : 6, Bài tập 25. Conic xạ ảnh : 6, Bài tập 23. Liên hợp (các đa tạp tuyến tính afin) : 6, Bài tập 25. Liên hợp (các đa tạp tuyến tính xạ ảnh) : 6, Bài tập 23. Côsin của một góc : 10, 3. Côtang của một góc : 10, 3. Phân tích Witt : 4, 2. Suy biến (ánh xạ song tuyến tính) bên phải (trái) : 1, 1. Suy biến (ánh xạ nửa song tuyến tính) bên phải (trái) : 1, 2. Suy biến (conic afin) : 6, Bài tập 25. Suy biến (conic xạ ảnh) : 6, Bài tập 23. Suy biến (mặt bậc hai afin) : 6, Bài tập 25. Suy biến (mặt bậc hai xạ ảnh) : 6, Bài tập 23. Nửa đường thẳng : 10, 3. Nửa đường thẳng đóng : 10, 3. Nửa đường thẳng đẳng hướng : 10, 3. Nửa đường thẳng mở : 10, 3. Độ dời : 6, 6. Chiều của một dạng toàn phương : 8, 1. Trực tiếp (đồng dạng) : 6, 5. Biệt thức của một dạng nửa song tuyến tính đối với một hệ các phần tử : 2. Khoảng cách : 7, 1. Phải (góc) : 10, 3. Đường thẳng có điểm : 10, Bài tập 2.

Phần tử lẻ của một đại số Clifford: 9, 1. Phần tử đẳng hướng: 4, 1. Phần tử chẵn của một đại số Clifford: 9, 1. Phần tử kỳ dị: 4, 1. Các phần tử trực giao đối với một ánh xạ nửa song tuyến tính: 1, 3. Các phần tử trực giao đối với một dạng toàn phương: 3, 4. Tự đồng cấu Hermit: 7, 3. Tự đồng cấu chuẩn: 7, 3. ε-Hermit (dạng): 3, 1. ε-Hermit (ma trận): 3, 1. Tương đương (các dạng toàn phương): 3, 4. Tương đương (các dạng nửa song tuyến tính): 1, 6. Không gian định nghĩa của một dạng toàn phương: 8, 1. Không gian Euclid: 6, 6. Không gian Hermit: 6, 6. Không gian định hướng: 10, 3. Euclid (không gian): 6, 6. Mở rộng của một dạng nửa song tuyến tính tới một lũy thừa tenxơ: 1, 9. Mở rộng của một dạng nửa song tuyến tính tới một lũy thừa ngoài: 1, 9. Ngoài (tổng trực tiếp) của các dạng toàn phương: 3, 4. Ngoài (tổng trực tiếp) của các môđun toàn phương: 3, 4. Trực giao yếu (các không gian con): 3, Bài tập 11. Đóng (mảnh góc): 10, 4. Đóng (nửa đường thẳng): 10, 3. Hàm côsin: 10, 3. Hàm côtang: 10, 3. Hàm sin: 10, 3. Hàm tang: 10, 3. Hàm lượng giác: 10, 3. Dạng phản Hermit: 3, 1. Dạng song tuyến tính: 1, 6. Dạng song tuyến tính liên kết với một dạng toàn phương: 3, 4. Dạng song tuyến tính Hermit: 3, 1. Dạng Hermit: 3, 1. Dạng Hermit âm (dương): 7, 1. Dạng nghịch đảo của một dạng song tuyến tính (nửa song tuyến tính): 1 ; 7. Dạng mêtric: 6, 6. Dạng trung hòa: 4, 2 và 8, 1. Dạng toàn phương: 3, 4. Dạng toàn phương âm (dương): 7, 1. Dạng toàn phương không suy biến: 3, 4. Dạng toàn phương thu được bằng mở rộng vô hướng từ một dạng toàn phương: 3, 4. Dạng nửa song tuyến tính: 1, 6. Các dạng toàn phương tương đương: 3, 4. Các dạng nửa song tuyến tính tương đương: 1, 6. Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt: 6, 1. Nhóm Clifford: 9, 5. Nhóm Clifford rút gọn: 9, 5. Nhóm Clifford đặc biệt: 9, 5. Nhóm các phép quay: 9, 5. Nhóm các kiểu của các dạng toàn phương: 8, 2. Nhóm Witt: 8, 2. Nhóm trực giao liên kết với Q: 6, 2. Nhóm trực giao trong $n$ biến: 6, 2. Nhóm trực giao đặc biệt: 6, 2. Nhóm unita đặc biệt: 6, 2. Nhóm symplectic liên kết với Φ: 5, 3. Nhóm symplectic trong $2m$ biến: 5, 3. Nhóm unita liên kết với Φ: 6, 2.

Nhóm Unitary trong $n$ biến: 6, 2. Hermit (tự đồng cấu): 7, 3. Hermit (không gian): 6, 6. Hermit (dạng): 3, 1. Hermit (ma trận): 3, 1. Đồng cấu chính tắc của đại số Clifford của một môđun con của E vào đại số Clifford của E: 9, 1. Đồng cấu metric: 4, 3. Siêu phẳng căn của hai mặt cầu: 10, bài tập 12. Ảnh ngược của một ánh xạ song tuyến tính: 1, 1. Ảnh ngược của một ánh xạ sesquiline: 1, 2. Lẻ (phần tử) trong một đại số Clifford: 9, 1. Chỉ số của một dạng toàn phương (sesquiline): 4, 2. Bất biến Dickson: 9, bài tập 9. Nghịch đảo (dạng): 1, 7. Nghịch đảo (đồng dạng): 6, 5. Phép nghịch đảo: 10, bài tập 13. Phép nghịch đảo trong mặt cầu C: 10, bài tập 13. Phép đối hợp trong một nhóm tuyến tính: 6, 3. Đẳng hướng (nửa đường thẳng): 10, 3. Đẳng hướng (phần tử): 4, 1. Đẳng hướng (môđun con): 4, 1. Đẳng hướng (đa tạp tuyến tính): 6, 6. (Công thức của) Laguerre: 10, bài tập 5. Luật quán tính: 7, 2. Độ dài của một vectơ: 10, 3. Ma trận phản xứng: 3, 1. Ma trận phản Hermit: 3, 1. Ma trận phản đối xứng: 3, 1. Ma trận của một ánh xạ thỏa mãn (G), (D), (GD) hoặc (DG): 1, 10. Ma trận của một ánh xạ song tuyến tính: 1, 1. Ma trận của một ánh xạ sesquiline: 1, 2. Ma trận Hermit-ε: 3, 1. Ma trận Hermit: 3, 1. Ma trận chuẩn: 7, bài tập 17. Ma trận trực giao: 6, 2. Ma trận đối xứng: 3, 1. Ma trận symplectic: 5, 3. Ma trận Unitary: 6, 2. Metric (dạng): 6, 6. Metric (đồng cấu): 4, 3. Môđun toàn phương: 3, 4. Nhân tử của một đồng dạng: 6, 5 và 6. Âm ($n$-vectơ): 10, 3. Âm (dạng Hermit): 7, 1. Âm (dạng toàn phương): 7, 1. Trung hòa (dạng toàn phương): 8, 1. Trung hòa (dạng sesquiline): 4, 2. Không suy biến (ánh xạ song tuyến tính): 1, 1. Không suy biến (ánh xạ sesquiline): 1, 2. Không suy biến (dạng toàn phương): 3, 4. Chuẩn (tự đồng cấu): 7, 3. Chuẩn spinơ: 9, 5. Hạt nhân của một môđun toàn phương: 3, 4. Âm (dương) $n$-vectơ: 10, 3. Định hướng của một không gian: 10, 3. Định hướng (không gian): 10, 3. Trực giao (tự đẳng cấu): 6, 2. Trực giao (nhóm): 6, 2. Trực giao (nhóm đặc biệt): 6, 2.

Trực giao (phép chiếu): 6, 3. Trực giao (môđun con) với một môđun con: 1, 3. Trực giao (vectơ) với một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Trực giao (cơ sở): 6, 1. Trực giao (ma trận): 6, 2. Trực giao (phép chiếu) lên một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Trực giao (biến đổi): 6, 2. Trực giao (đa tạp) với một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Các phần trực giao: 1, 3 và 3, 4. Các đa tạp tuyến tính trực giao: 6, 6. Phép trực giao hóa (quá trình Gram-Schmidt): 6, 1. Trực giao (các phần tử): 1, 3 và 3, 4. Trực chuẩn (cơ sở): 6, 1. Mở (mảnh góc): 10, 4. Mở (nửa đường thẳng): 10, 3. Cặp (phần tử) trong một đại số Clifford: 9, 1. Các phần trực giao: 1, 3 và 3, 4. Vuông góc (các đa tạp tuyến tính): 6, bài tập 22. Pfaff của một ma trận phản xứng: 5, 2. Phẳng (góc): 10, 3. Điểm nhìn của một phép chiếu lập thể: 10, bài tập 14. Cực của một đa tạp tuyến tính đối với một mặt bậc hai: 6, bài tập 23 và 25. Cực của một siêu phẳng đối với một mặt bậc hai: 6, bài tập 23 và 25. Cực của một phép nghịch đảo: 10, bài tập 13. Dương ($n$-vectơ): 10, 3. Dương (dạng Hermit): 7, 1. Dương (dạng toàn phương): 7, 1. Chính (phản tự đẳng cấu): 9, 1. Chính (tự đẳng cấu): 9, 1. Tích tenxơ của các dạng toàn phương: 8, 3. Tích tenxơ của các dạng sesquiline: 1, 9. Phép chiếu trực giao: 6, 3. Phép chiếu trực giao lên một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Phép chiếu lập thể: 10, bài tập 14. Giả biệt thức: 9, bài tập 9. Lũy thừa của một điểm đối với một mặt cầu: 10, bài tập 12. Lũy thừa của một phép nghịch đảo: 10, bài tập 13. Định lý Pythagore: 6, 6. Toàn phương (dạng): 3, 4. Toàn phương (môđun): 3, 4. Mặt bậc hai affine: 6, bài tập 25. Mặt bậc hai xạ ảnh: 6, bài tập 23. Hạng của một dạng song tuyến tính (sesquiline): 1, 6. Bán kính của một mặt cầu: 10, bài tập 12. Thu gọn (nhóm Clifford): 9, 5. Quan hệ Chasles: 10, 3. Các biểu diễn spinơ: 9, 4. Phép quay: 9, 5. Phép quay góc φ: 10, 3 và bài tập 2. (Nhóm của) phép quay: 9, 5. Mảnh góc đóng: 10, 4. Mảnh góc mở: 10, 4. Mảnh góc phẳng: 10, bài tập 8. Mảnh góc lõm: 10, bài tập 8. Mảnh góc lồi: 10, bài tập 8. Bán spinơ: 9, 4. Sesquiline (ánh xạ): 1, 2. Sesquiline (dạng): 1, 6. Chữ ký của một dạng Hermit: 7, 2. Đồng dạng: 6, 5 và 6.

Đồng dạng trực tiếp: 6, 5 và 9, bài tập 9. Đồng dạng nghịch đảo: 6, 5. Kỳ dị (phần tử): 4, 1. Kỳ dị (môđun con): 4, 1. Sin của một góc: 10, 3. Tổng trực tiếp của các ánh xạ song tuyến tính (sesquiline): 1, 3. Tổng trực tiếp ngoài của các dạng toàn phương (các môđun toàn phương): 3, 4. Môđun con đẳng hướng: 4, 1. Môđun con trực giao với một môđun con: 1, 3. Môđun con kỳ dị: 4, 1. Môđun con đẳng hướng toàn phần: 4, 1. Môđun con kỳ dị toàn phần: 4, 1. Mặt cầu: 10, bài tập 12. Các mặt cầu trực giao: 10, bài tập 12. Spinơ: 9, 4. Dãy trực tiếp của các nửa đường thẳng: 10, 4. Đối xứng đối với một siêu phẳng: 6, 4. Đối xứng đối với một không gian con vectơ: 6, 3. Đối xứng đối với một đa tạp tuyến tính affine: 6, 6. Đối xứng (ma trận): 3, 1. Symplectic (tự đẳng cấu): 5, 3. Symplectic (cơ sở): 5, 1. Symplectic (nhóm): 5, 3. Symplectic (ma trận): 5, 3. Symplectic (biến đổi): 5, 3. Tang của một góc: 10, 3. Tiếp tuyến (đa tạp tuyến tính) với một mặt bậc hai: 6, bài tập 23 và 25. Định lý Pythagore: 6, 6. Định lý Witt: 4, 3. Đẳng hướng toàn phần (môđun con): 4, 1. Trực giao toàn phần (môđun con) với một môđun con: 1, 3. Trực giao toàn phần (đa tạp) với một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Kỳ dị toàn phần (môđun con): 4, 1. Biến đổi trực giao: 6, 2. Biến đổi symplectic: 5, 3. Biến đổi Unitary: 6, 2. Lượng giác (hàm): 10, 3. Kiểu của một dạng toàn phương: 8, 1. Unitary (tự đẳng cấu): 6, 2. Unitary (nhóm): 6, 2. Unitary (nhóm đặc biệt): 6, 2. Unitary (ma trận): 6, 2. Unitary (biến đổi): 6, 2. Đa tạp tuyến tính đẳng hướng: 6, 6. Đa tạp tuyến tính trực giao với một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Đa tạp tuyến tính đẳng hướng toàn phần: 6, 6. Các đa tạp tuyến tính trực giao: 6, 6. Vectơ trực giao với một đa tạp tuyến tính: 6, 6. Witt (vành): 8, 3. Witt (phân tích): 4, 2. Witt (nhóm): 8, 2. Witt (định lý): 4, 3.

CHƯƠNG IX. — Các dạng sesqui tuyến tính và các dạng toàn phương ............ 3 § 1. Các dạng sesqui tuyến tính ............................................. 7 1. Các ánh xạ song tuyến tính ........................................ 7 2. Các ánh xạ sesqui tuyến tính .................................. 10 3. Tính trực giao. Các tổng trực tiếp của các ánh xạ song tuyến tính hoặc sesqui tuyến tính .................................................. 12 4. Thay đổi các vành cơ sở .................................. 13 5. Một số đẳng thức .................................................. 18 6. Các dạng song tuyến tính và sesqui tuyến tính. Hạng .................. 18 7. Dạng nghịch đảo của một dạng song tuyến tính hoặc sesqui tuyến tính .......... 23 8. Liên hợp của một đồng cấu .................................... 25 9. Các tích tenxơ và các lũy thừa ngoài của các dạng sesqui tuyến tính ......................................................... 27 10. Các tính toán ma trận .................................................. 32 § 2. Định thức của một dạng sesqui tuyến tính .......................... 41 § 3. Các dạng Hermit và toàn phương ....................... 49 1. Các dạng Hermit và ε-Hermit .......................... 49 2. Các môđun trên một mở rộng toàn phương .......................... 51 3. Các dạng song tuyến tính liên kết với một dạng Hermit .......... 52 4. Các dạng toàn phương ............................................... 54 § 4. Các không gian con hoàn toàn đẳng hướng. Định lý Witt ............... 63 1. Các không gian con đẳng hướng ........................................... 64 2. Phân tích Witt ............................................. 65 3. Định lý Witt .................................................. 71 § 5. Các tính chất đặc biệt của các dạng song tuyến tính phản xứng ............... 79 1. Giảm các dạng song tuyến tính phản xứng ..................... 79 2. Pfaff của một ma trận phản xứng .................................. 82 3. Nhóm symplectic ................................................ 84 § 6. Các tính chất đặc biệt của các dạng Hermit ......................... 90 1. Các cơ sở trực giao ................................................ 90 2. Nhóm unitary và nhóm trực giao ............................ 93 3. Các phép chiếu trực giao và các phép đối hợp .......................... 95 4. Các phép đối xứng trong nhóm trực giao ............................. 97 5. Nhóm các phép đồng dạng ............................................ 98 6. Hình học Hermit ............................................. 100 § 7. Các dạng Hermit và các trường có thứ tự ............................... 114 1. Các dạng Hermit dương ................................... 115 2. Luật quán tính .................................................. 117 3. Giảm một dạng đối với một dạng Hermit dương ............................................................. 118

§ 8. Các kiểu của các dạng toàn phương ............................................. 132 1. Các kiểu của các dạng toàn phương ............................................. 132 2. Nhóm các kiểu của các dạng toàn phương ................................. 134 3. Vành các kiểu của các dạng toàn phương ................................. 137 § 9. Các đại số Clifford ....................................................... 139 1. Định nghĩa và tính chất phổ quát của đại số Clifford ............ 139 2. Một số phép toán trong đại số tenxơ .......................... 141 3. Cơ sở của đại số Clifford ............................................. 143 4. Cấu trúc của đại số Clifford ........................................ 146 5. Nhóm Clifford ....................................................... 150 § 10. Các góc ............................................................................. 160 1. Các phép đồng dạng trực tiếp trong một mặt phẳng .......................................... 160 2. Lượng giác phẳng ....................................................... 164 3. Các góc ............................................................................. 167 4. Các miền góc ....................................................... 173 Ghi chú lịch sử ............................................................................. 185 Chỉ mục ký hiệu ....................................................................... 202 Chỉ mục thuật ngữ ...................................................................... 204 Các định nghĩa của Chương IX ......................................................... Trang gấp

Các dạng nửa song tuyến tính: Cho A là một vành, $\xi \to \bar{\xi}$ là một phản tự đẳng cấu đối hợp của A, nghĩa là một song ánh của A lên chính nó sao cho $(\xi + \eta) = \bar{\xi} + \bar{\eta}$, $(\xi \eta) = \bar{\eta} \cdot \bar{\xi}$, $\bar{\xi} = \xi$ với mọi $\xi, \eta$ trong A. Một dạng nửa song tuyến tính $\Phi$ trên một A-môđun trái E là một ánh xạ của $E \times E$ vào A sao cho

Các dạng toàn phương: Cho A là một vành giao hoán. Một dạng toàn phương Q trên một A-môđun E là một ánh xạ của E vào A sao cho $Q(\alpha x) = \alpha^2 Q(x)$ với $\alpha \in A, x \in E$, và sao cho ánh xạ

khi $A$ là một trường có đặc số $\neq 2$, các dạng toàn phương và các dạng song tuyến tính đối xứng trên $E$ do đó tương ứng song ánh.

Các phần tử trực giao: Cho $\Phi$ là một dạng Hermit $\varepsilon$-Hermit trên một $A$-môđun trái $E$. Hai phần tử $x, y$ của $E$ được gọi là trực giao (đối với $\Phi$) nếu $\Phi(x, y) = 0$; quan hệ này là đối xứng theo $x$ và $y$. Với mọi môđun con $M$ của $E$, tập hợp các $x \in E$ trực giao với mọi phần tử của $M$ là một môđun con được ký hiệu bởi $M^0$ và được gọi là trực giao của môđun con $M$. Ta nói rằng $\Phi$ là không suy biến nếu $E^0 = \{0\}$. Khi $E$ là một không gian vectơ hữu hạn chiều và $\Phi$ là không suy biến, ta có $\operatorname{codim} M^0 = \dim M$ và $M^{00} = M$ với mọi không gian con $M$ của $E$; hơn nữa, với mọi cặp không gian con $M, N$ của $E$, ta có

Các phần tử đẳng hướng và các phần tử kỳ dị: Cho $\Phi$ là một dạng Hermit $\varepsilon$-hermit trên một $A$-môđun trái $E$. Một phần tử $x \in E$ được gọi là đẳng hướng nếu $\Phi(x, x) = 0$; một môđun con $M$ của $E$ được gọi là đẳng hướng nếu $M \cap M^0 \neq \{0\}$ (nói cách khác nếu hạn chế của $\Phi$ trên $M$ là suy biến); $M$ được gọi là đẳng hướng toàn phần nếu $M \subset M^0$ (nói cách khác nếu hạn chế của $\Phi$ trên $M$ là không). Với mọi môđun con $M$ của $E$, $M \cap M^0$ là đẳng hướng toàn phần. Nếu $E$ là một không gian vectơ hữu hạn chiều và nếu $\Phi$ là không suy biến, ba điều kiện sau đây là tương đương đối với một không gian con $M$ của $E$: $1^\circ$ $M$ là không đẳng hướng; $2^\circ$ $M^0$ là không đẳng hướng; $3^\circ$ $E$ là tổng trực tiếp của $M$ và $M^0$. Giả sử vành $A$ giao hoán, và cho $Q$ là một dạng toàn phương trên một $A$-môđun $E$, $\Phi$ là dạng song tuyến tính liên kết với $Q$. Một phần tử $x \in E$ được gọi là kỳ dị nếu $Q(x) = 0$; một môđun con $M$ của $E$ được gọi là kỳ dị (tương ứng kỳ dị toàn phần) nếu $M \cap M^0$ chứa một phần tử kỳ dị $\neq 0$ (tương ứng nếu hạn chế của $Q$ trên $M$ là không). Mọi phần tử kỳ dị (tương ứng môđun con kỳ dị, môđun con kỳ dị toàn phần) đều là đẳng hướng (tương ứng đẳng hướng, đẳng hướng toàn phần); đảo lại đúng khi $A$ là một trường có đặc số $\neq 2$.