Bài tập 2, § 14

Cho K là một trường giao hoán, A là đại số trên K $\mathbf{M}_5$(K), B là đại số con gồm các ma trận có dạng

$x$ 0 0

0 Y 0,

0 0 Y

và C là đại số con gồm các ma trận có dạng

$x$ 0 0 0

0 $x$ 0 0

,

0 0 $x$ 0

0 0 0 Y

trong đó $x$ chạy qua K và Y chạy qua đại số $\mathbf{M}_2(K)$. Chứng minh rằng B và C là các đại số nửa đơn chứa tâm Z của A. Sau đó, chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu của các đại số trên K $f: B\rightarrow C$ giữ bất biến các phần tử của Z, nhưng không tồn tại tự đẳng cấu nào của A mở rộng f (hãy nhận xét rằng một tự đẳng cấu như vậy phải biến một thành phần đơn của B thành một thành phần đơn của C).