Giới thiệu

Chương này được dành cho việc nghiên cứu một số lớp vành và các môđun trên các vành ấy. Có nhiều chủ đề nền tảng đằng sau việc nghiên cứu này, chẳng hạn như các vấn đề phân loại hoặc phân tích, hoặc việc mô tả các đối tượng con và các tập hợp cấu xạ.

Về cơ bản, chúng tôi chỉ xét các vấn đề ấy dưới những giả thiết hữu hạn tính hợp lý, đó là lý do vì sao chương mở đầu bằng các khái niệm môđun và vành Noether và Artin.

Đối với các vành, chúng tôi trình bày một số kết quả cho phép hiểu các vành Artin:

a) Căn Jacobson của một vành Artin là căn lũy linh của nó (§10), và vành thương tương ứng là một vành nửa đơn (§8).

b) Một vành nửa đơn đẳng cấu với tích của một họ hữu hạn các vành đơn (§7).

c) Theo định lý của Wedderburn (VIII, p. 120, Định lý 1), một vành đơn đẳng cấu với một đại số ma trận trên một trường.

Xét đến tương đương Morita (§6), một đại số bậc hữu hạn đồng thời là một vành đơn được xác định bởi lớp của nó trong một nhóm Abel gọi là nhóm Brauer. Chúng tôi đưa ra một số mô tả của nhóm này (§15 và §16), cũng như các ví dụ (§18 và §19).

Đối với các môđun, chúng tôi trình bày hai phép phân tích tự nhiên: phép thứ nhất, theo các chuỗi hợp thành (I, §4, No. 7, p. 41, Định nghĩa 9), được cho bởi định lý Jordan–Hölder (I, §4, No. 7, p. 43, Định lý 6). Phép thứ hai, tương ứng với các tổng trực tiếp, được cho trong trường hợp các môđun có độ dài hữu hạn bởi định lý Krull–Remak–Schmidt (VIII, p. 37, Định lý 2), mà ở đây chúng tôi suy ra từ một kết quả của Azumaya về các môđun nửa nguyên thủy (VIII, p. 32,

xvii

Định lý 1). Chúng tôi cũng xét các bất biến liên kết với các môđun mà có tính chất cộng tính đối với các phép phân tích đã nói ở trên; các nhóm Grothendieck được mô tả trong §11 là các nghiệm của những bài toán phổ quát đối với các bất biến ấy. Khi nghiên cứu cấu trúc của các môđun trên một vành, khái niệm đẳng cấu vành được thay thế, một cách có lợi cho chúng ta, bằng tương đương Morita.

Đối với các môđun nửa đơn, tức là các tổng trực tiếp của các môđun đơn, khái niệm mô tả của một môđun (VIII, p. 69, Định nghĩa 5) cho phép chúng tôi mô tả các đồng cấu xuất phát từ môđun ấy cũng như các môđun con của nó.

Để minh họa, trong §21, chúng tôi xét trường hợp đại số của một nhóm hữu hạn, mà các môđun của nó tương ứng với các biểu diễn tuyến tính của nhóm.

Một ghi chú lịch sử được đưa vào cuối tập, sao lại từ lần xuất bản trước, thuật lại cách thức nhiều khái niệm được phát triển ở đây đã xuất hiện.