Gửi người đọc
ẤN BẢN MỚI
1. Bộ Éléments de Mathématique trình bày toán học từ điểm khởi đầu và đưa ra các chứng minh đầy đủ. Vì vậy về nguyên lý, nó không đòi hỏi người đọc phải có kiến thức toán học riêng biệt nào, mà chỉ cần một sự quen thuộc nhất định với lập luận toán học và một năng lực nhất định về tư duy trừu tượng. Tuy nhiên, bộ sách này trước hết hướng tới những người đã có kiến thức vững về ít nhất nội dung của một hoặc hai năm đầu của chương trình đại học toán.
2. Phương pháp trình bày được chọn là tiên đề và đi một cách điển hình từ cái tổng quát đến cái riêng biệt. Những đòi hỏi của chứng minh áp đặt lên tài liệu một trật tự được xác định chặt chẽ. Do đó, ích lợi của một số xem xét nào đó có thể chỉ trở nên rõ ràng với người đọc ở các chương sau, trừ khi họ đã có sẵn một kiến thức khá rộng về toán học.
3. Bộ sách được chia thành các Quyển và mỗi Quyển lại được chia thành các chương. Các Quyển đã được xuất bản, toàn bộ hoặc từng phần, trong ấn bản tiếng Pháp, được liệt kê dưới đây. Khi có bản dịch tiếng Anh, nhan đề tiếng Anh tương ứng được nêu trong dấu ngoặc đơn. Trong toàn bộ tập sách này, một dẫn chiếu chỉ đến ấn bản tiếng Anh nếu có, và nếu không thì chỉ đến ấn bản tiếng Pháp.
Théorie des ensembles (Lý thuyết tập hợp) Ref. E (Lý thuyết tập hợp)
Algèbre (Đại số[^1]) — A (Alg.)
Topologie générale (Tôpô đại cương) — TG (Top. đại cương)
Fonctions d’une biến réelle
(Các hàm của một biến thực) — FVR (FRV)
[^1]: Cho đến nay, mới chỉ có các Chương I đến VIII được dịch. v
Espaces vectoriels topologiques
(Các không gian vectơ tôpô) — EVT (Top. Vect. Sp.)
Intégration (Tích phân) — INT (Int.)
Algèbre giao hoán
(Đại số giao hoán[^2]) — AC (Đại số giao hoán)
Variétés différentiables et analytiques — VAR
Groupes et algèbres de Lie
(Các nhóm Lie và các đại số Lie) — LIE (Lie)
Théories spectrales — TS
Topologie Algébrique — TA
Trong sáu Quyển đầu tiên (theo thứ tự đã nêu ở trên), mọi mệnh đề trong phần văn bản chỉ giả thiết đã biết các định nghĩa và kết quả đã được bàn đến trong cùng các chương ấy hoặc trong các chương trước theo thứ tự sau đây: Lý thuyết tập hợp; Alg., Chương I đến III; Top. đại cương, Chương I đến III; Alg./A, bắt đầu từ Chương IV; Top. đại cương, bắt đầu từ Chương IV; FRV; Top. Vect. Sp.; Int. Kể từ Quyển thứ bảy trở đi, nếu cần, người đọc sẽ tìm thấy ở đầu mỗi Quyển hoặc mỗi chương một chỉ dẫn chính xác về các Quyển hoặc các chương khác được dùng đến (sáu Quyển đầu tiên luôn luôn được giả thiết là đã biết).
4. Tuy nhiên, một số đoạn nào đó không tuân theo các quy tắc đã nêu trên. Chúng được đặt giữa hai dấu hoa thị: . . . . Trong một số trường hợp, điều đó chỉ nhằm
giúp người đọc hiểu văn bản bằng cách đưa vào các ví dụ quy chiếu đến những kết quả mà họ có thể biết từ những nguồn khác. Trong các trường hợp khác, chúng tôi không chỉ dùng những kết quả được giả thiết là đã biết trong các chương đang xét mà còn cả những kết quả được chứng minh ở nơi khác trong bộ sách. Các đoạn này được sử dụng tự do trong những phần giả thiết đã biết các chương chứa chúng và các chương mà chúng quy chiếu đến. Chúng tôi hy vọng rằng người đọc sẽ có thể kiểm tra được rằng không có một vòng luẩn quẩn nào.
5. Một số Quyển (đã xuất bản hoặc đang được chuẩn bị) có thể có các bản tóm tắt kết quả. Những bản tóm tắt này chứa các định nghĩa và kết quả cốt yếu của Quyển, không kèm theo chứng minh nào.
6. Khung lôgic của mỗi chương gồm các định nghĩa, tiên đề và định lý của chương đó. Đó là những phần chính cần ghi nhớ để dùng về sau. Những kết quả ít quan trọng hơn, và những kết quả có thể dễ dàng suy ra lại từ các định lý, được gắn nhãn là “mệnh đề”, “bổ đề”, “hệ quả”, “nhận xét”, v.v. Những kết quả có thể bỏ qua trong lần đọc đầu được in bằng cỡ chữ
[^2]: Cho đến nay, mới chỉ có các Chương I đến VII được dịch.
nhỏ. Một lời bình luận về một định lý cơ bản đôi khi xuất hiện dưới tên gọi “chú giải”.
Để tránh những sự lặp lại tẻ nhạt, đôi khi thuận tiện khi đưa vào các ký hiệu hoặc các cách viết tắt chỉ có hiệu lực trong một chương nhất định hoặc một tiết diện hay tiểu mục của một chương (chẳng hạn, trong một chương mà mọi vành đều giao hoán, từ “vành” có thể luôn luôn chỉ một “vành giao hoán”). Những quy ước như thế được nhắc đến tường minh ở đầu chương, tiết diện hoặc tiểu mục nơi chúng được áp dụng.
Xin lưu ý rằng, như trong các chương trước của Quyển này, các trường không được giả thiết là giao hoán trừ khi có nói khác.
7. Một số đoạn được viết để báo trước cho người đọc tránh những sai lầm nghiêm trọng. Những đoạn ấy được chỉ ra ở lề bằng dấu (“khúc ngoặt nguy hiểm”).
8. Các bài tập nhằm, một mặt, cho phép người đọc tự kiểm tra rằng họ đã lĩnh hội tốt văn bản, và mặt khác, giúp họ làm quen với những kết quả không có chỗ trong văn bản. Những bài tập khó nhất được đánh dấu bằng một .
9. Chúng tôi đã đặc biệt chú ý đến thuật ngữ được dùng trong bộ sách này. Chúng tôi đã tuân theo thuật ngữ được chấp nhận thông thường, trừ ở những chỗ dường như có những lý do xác đáng để đi chệch khỏi nó.
10. Chúng tôi đã đặc biệt cố gắng luôn luôn dùng một ngôn ngữ chặt chẽ đúng đắn, mà không hy sinh tính đơn giản. Trong mức độ có thể, chúng tôi đã lưu ý trong văn bản mọi sự lạm dụng ngôn ngữ hoặc ký hiệu; nếu không có điều đó thì bất cứ văn bản toán học nào cũng có nguy cơ trở nên kiểu cách, chưa nói đến khó đọc.
11. Vì văn bản gồm sự trình bày có tính giáo khoa của một lý thuyết, nên nó hiếm khi chứa các dẫn chiếu đến tài liệu. Các dẫn chiếu thư mục đôi khi được gom lại trong các Chú ý lịch sử. Thư mục theo sau các Chú ý này nói chung chỉ chứa những sách và những hồi ký gốc có tầm quan trọng lớn nhất trong sự phát triển của lý thuyết đang được bàn tới. Nó không có tham vọng là đầy đủ.
Về phần các bài tập, chúng tôi không cho rằng việc chỉ ra nguồn gốc của chúng là hữu ích vì chúng đã được lấy từ nhiều nguồn khác nhau (các bài báo gốc, giáo trình, các tuyển tập bài tập).
12. Trong chương này của Sách này của bản in mới, các dẫn chiếu đến các định lý, tiên đề, định nghĩa, nhận xét, v.v. được cho bằng cách lần lượt chỉ ra Sách (dùng chữ viết tắt được liệt kê ở No. 3), chương, tiết diện, tiểu mục, và trang nơi chúng có thể được tìm thấy. Dẫn chiếu đến Sách được bỏ đi khi nó là cùng một Sách như Sách hiện tại. Chẳng hạn, trong Sách Đại số,
Lý thuyết tập hợp, III, § 4, No. 2, p. 167, Hệ quả 3
chỉ Hệ quả 3 của § 4, No. 2 ở trang 167 của Chương III của Sách Lý thuyết tập hợp;
II, § 1, No. 11, p. 215, Mệnh đề 17
chỉ Mệnh đề 17 của § 1, No. 11 ở trang 215 của Chương II của Sách Đại số.
Các bản tóm tắt kết quả được chỉ ra bằng chữ cái R; chẳng hạn, Top. Vect. Sp., R chỉ “bản tóm tắt các kết quả” của Sách Topological Vector Spaces.
Vì một số Sách sẽ được xuất bản muộn hơn trong bản in mới, các dẫn chiếu đến những Sách ấy lần lượt gồm Sách, chương, tiết diện, và tiểu mục nơi các kết quả được nói đến lẽ ra phải ở đó, chẳng hạn,
Comm. Alg., III, § 4, No. 5, Hệ quả của Mệnh đề 6.
Khi có một dẫn chiếu đến một tập của bản in tiếng Pháp, các từ viết tắt bằng chữ in hoa đứng được dùng, và thuật ngữ cùng phép sắp chữ tiếng Pháp được dùng; chẳng hạn,
TA, II, § 2, n, p. 158, hệ quả của mệnh đề 1
chỉ hệ quả của Mệnh đề 1 của § 2, No. 4 ở trang 158 của Chương II của Sách Topologie Algébrique.