Bài tập 18, § 2

Trong quy trình định nghĩa được xác định trong Bài tập 17 (b), lấy $\alpha_0 = 1 + 1$ (được ký hiệu là 2 do lạm dụng ngôn ngữ),

Ký hiệu $f(\xi,\eta)$ bởi $\xi^\eta$ và định nghĩa $\alpha^0$ bằng 1 với mọi số thứ tự $\alpha$. Cũng định nghĩa $0^\beta$ bằng 0 và $1^\beta$ bằng 1 với mọi số thứ tự $\beta\geq 1$.

(a) Chứng minh rằng nếu $\alpha>1$ và $\beta<\beta'$, ta có $\alpha^\beta<\alpha^{\beta'}$ và rằng, với mỗi số thứ tự $\alpha>1$, $\alpha^\xi$ là một ký hiệu phiếm hàm chuẩn đối với $\xi$. Hơn nữa, nếu $0<\alpha\leq\alpha'$, ta có $\alpha^\beta\leq{\alpha'}^\beta$.

(b) Chứng minh rằng $\alpha^\xi\cdot\alpha^\eta=\alpha^{\xi+\eta}$ và $(\alpha^\xi)^\eta=\alpha^{\xi\eta}$.

(c) Chứng minh rằng, nếu $\alpha\geq 2$ và $\beta\geq 1$, $\alpha^\beta\geq\alpha\beta$.

(d) Với mỗi cặp số thứ tự $\beta\geq 1$ và $\alpha\geq 2$, tồn tại ba số thứ tự $\xi,\gamma,\delta$ sao cho $\beta=\alpha^\xi\gamma+\delta$, trong đó $0<\gamma<\alpha$ và $\delta<\alpha^\xi$, và ba số thứ tự này được xác định duy nhất bởi các điều kiện đó.